Oral du bac: intégration et géométrie
Terminale générale, spécialité mathématiques
- L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
- La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
- Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.
Exercice 1: Fonction exponentielle, primitive, variations et intégrale
Soit la fonction définie sur par l'expression: .
Cacher la correction
- Montrer que est une primitive de la fonction définie sur
par .
Existe-t'il d'autres primitives de la fonction ? - Dresser le tableau de variation de .
- Calculer .
Correction exercice 1
- est une primitive de signifie que : il faut donc calculer la dérivée de .
est un produit de deux fonctions: , avec , donc , et , donc .
On a alors, , soit .
Ainsi, est bien une primitive de .
L'ensemble des primitives de est donc l'ensemble des fonctions qui s'écrivent sous la forme , où est un réel quelconque.
- Les variations de sont données par le signe de sa dérivée .
On peut compléter avec les limites:- en , il n'y a pas de problème particulier: , et donc, par produit des limites,
- en on est face à une forme indéterminée "".
Il s'agit en fait de la propriété de croissances comparées et donc
- Comme est une primitive de , on
Cacher la correction
Exercice 2: Intersection et distance entre un plan (équation cartésienne) et une droite (représentée paramétriquement)
Dans l'espace muni du repère orthonormal
on considère le plan d'équation
ainsi que le point .
Cacher la correction
- Le point est-il dans le plan ?
- Donner une représentation paramétrique de la droite passant par et orthogonale à .
- Déterminer les coordonnées du point intersection de et .
- En déduire la distance du point au plan .
Correction exercice 2
- donc .
- est un vecteur normal de , la droite passant par et orthogonale à admet donc comme représentatation paramétrique:
- Comme , il existe un réel tel que ait pour
coordonnées
Comme de plus , ses coordonnées vérifient l'équation de
donc ,
soit et donc .
On a ainsi . - La distance du point au plan est . Comme , on a donc .
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