Vérification d'une solution, étude de fonction, convexité
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction
définie sur
par l'expression
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapEqDiff/verif/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapEqDiff/verif/2.png)
![$f(x)=1-e^{-2x^2}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapEqDiff/verif/3.png)
- Montrer que
est solution de l'équation différentielle
.
- Déterminer les limites de
en
et
, et les éventuelles asymptotes à la courbe de
.
- Étudier le sens de variation de
.
- Étudier la convexité de
.
Correction
On considère la fonction
définie sur
par l'expression
.
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On considère la fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapEqDiff/verif_c/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapEqDiff/verif_c/2.png)
![$f(x)=1-e^{-2x^2}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapEqDiff/verif_c/3.png)
- On a
, avec
donc
, d'où
, ou encore
.
On calcule alors
ce qui montre queest solution de l'équation différentielle
.
- On a
, et donc
, d'où
On en déduit que la droite d'équationest asymptote verticale à la courbe de
en
et
.
- On a trouvé que
.
- La convexité de
est donnée par le signe de sa dérivée seconde:
, avec
donc
, et
donc
.
On a alors, soit
Le trinôme du second degréadmet deux racines:
et donc
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Tags:Équations différentiellesExponentielleConvexité
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