Vérification d'une solution, étude de fonction, convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=1-e^{-2x^2}$.
  1. Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E): y'+4xy=4x$.
  2. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$, et les éventuelles asymptotes à la courbe de $f$.
  3. Étudier le sens de variation de $f$.
  4. Étudier la convexité de $f$.

Correction
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=1-e^{-2x^2}$.
  1. On a $f=1-e^u$, avec $u(x)=-2x^2$ donc $u'(x)=-4x$, d'où $f'=-u'e^u$, ou encore $f'(x)=4xe^{-2x^2}$.
    On calcule alors
    \[f((x)+4xf(x)=4xe^{-2x^2}+4x\lp1-e^{-2x^2}\rp=4x\]

    ce qui montre que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
  2. On a $\dsp\lim_{x\to-\infty}x^2=\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$, et donc $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x^2}=\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}=0$, d'où
    \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\]

    On en déduit que la droite d'équation $y=1$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
  3. On a trouvé que $f'(x)=4xe^{-2x^2}$.
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && 0 && $+\infty$ \\\hline $4x$ && $-$ &0&$+$&\\\hline $e^{-2x^2}$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$ &0&$+$&\\\hline &1&&&&1\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&0&&\\\hline \end{tabular}\]


  4. La convexité de $f$ est donnée par le signe de sa dérivée seconde: $f'=4uv$, avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^{-2x^2}$ donc $v'(x)=-4xe^{-x^2}$.
    On a alors $f''=4\left( u'v+uv'\rp$, soit
    \[\begin{array}{ll}f''(x)&=4\left( e^{-2x^2}-4x^2e^{-2x^2}\rp\\ &=4e^{-2x^2}\lp1-4x^2\rp\enar\]

    Le trinôme du second degré $1-4x^2$ admet deux racines:
    \[1-4x^2=0\iff x^2=\dfrac14\iff x=\pm\dfrac12\]

    et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && $-1/2$ && $1/2$ && $+\infty$ \\\hline $e^{-2x^2}$ && $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $1-4x^2$ && $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline $f



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