Bac 2021 (sujet 0): Logarithme et convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
  • la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ ;
  • la tangente $\mathcal{T}_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A de coordonnées $\left(\dfrac{1}{e}~;~e\right)$ ;
  • la tangente $\mathcal{T}_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B de coordonnées (1 ; 2).
La droite $\mathcal{T}_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $\mathcal{T}_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (3 ; 0) et l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3).


$$(-0.4,-0.7)(8,3.7) \multido{\n=-0.0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.5)(\n,3.5)} %\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)} \multido{\n=-0.5+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.50,\n) } \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6) \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.127}{7.50}{x ln 2 add x div} \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{7.50}{2.71828} \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{3.50}{x neg 3 add} \psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.1](0.367879,2.71828)(1,2) \uput[ur](0.468,2.81828){A}\uput[ur](1.1,2.1){B} \uput[u](6.5,2.5){\cyan $\mathcal{T}_A$} \uput[r](2.2,0.5){\cyan $\mathcal{T}_B$} \uput[r](5,0.5) {\blue $\mathcal{C}_f$} $$





On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.


Partie I
  1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\lp\dfrac1e\rp$ et de $f'(1)$.
  2. En déduire une équation de la droite $\mathcal{T}_B$.

Partie II
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) =\dfrac{2+\ln(x)}{x}.\]


  1. Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points A et B et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
  3. Montrer que, pour tout $x\in]0~;~\infty[$,

    \[f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2} .\]


  4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
  5. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ On admet que, pour tout $x\in]0~;~+\infty[$

    \[f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} .\]


    Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.

Correction


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