Une suite récurrente, sa conjecture, son python, et démonstration par récurrence

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $\left( u_n\rp$ définie par: $u_1=-5$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[u_{n+1}=\lp1+\dfrac2n\right) u_n+\dfrac{18}{n}-4\,.\]

  1. Calculer $u_2$ et $u_3$. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de la suite $\left( u_n\rp$.
  2. Qu'affiche l'exécution du programme Python suivant ?
    \[\fbox{\begin{minipage}{5.4cm} u=-5\\[.4em] for n in range(1,5):\\[.4em] \hspace*{1cm}u=(1+2/n)*u+18/n-4\\[.4em] \hspace*{1cm}print(u) \end{minipage}}\]


  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=4n-9$.

Correction
  1. $u_2=\left( 1+\dfrac21\right) u_1+\dfrac{18}{1}-4 =3\tm(-5)+14=-1$; $u_3=\left( 1+\dfrac22\right) u_2+\dfrac{18}{2}-4 =2\tm(-1)+5=3$
    On peut conjecturer que la suite $\left( u_n\rp$ est arithmétique de raison $4$.
  2. Ce programme calcule et affiche les premières valeurs de la suite: $u(2)=-1$, $u(3)=3$, $u(4)=7$ et $u(5)=11$.
  3. Initialisation: On a $u_1=-5$, et pour $n=0$, $4\tm1-9=-5$.
    Ainsi, initialement au rang $n=1$, on a bien $u_n=4n-9$.

    Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n\geqslant1$, on ait $u_n=4n-9$, alors,

    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}&=\lp1+\dfrac2n\right) u_n+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em] &=\lp1+\dfrac2n\right) \lp 4n-9\right)+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em] &=4n-9+\dfrac{8n}{n}-\dfrac{18}{n}+\dfrac{18}{n}-4\\[.5em] &=4n-5\\[.5em] &=4(n+1)-9 \enar\]

    Ainsi au rang $n+1$ on a bien encore $u_{n+1}=4(n+1)-9$.

    Conclusion: On a donc démontré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n\geqslant1$, $u_n=4n-9$.


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