Une suite récurrente, sa conjecture, son python, et démonstration par récurrence

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $\left( u_n\rp$ définie par: $u_1=-5$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[u_{n+1}=\lp1+\dfrac2n\right) u_n+\dfrac{18}{n}-4\,.\]

  1. Calculer $u_2$ et $u_3$. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de la suite $\left( u_n\rp$.
  2. Qu'affiche l'exécution du programme Python suivant ?
    \[\fbox{\begin{minipage}{5.4cm} u=-5\\[.4em] for n in range(1,5):\\[.4em] \hspace*{1cm}u=(1+2/n)*u+18/n-4\\[.4em] \hspace*{1cm}print(u) \end{minipage}}\]


  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=4n-9$.

Correction


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