Une petite récurrence
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Soit
la suite définie par
, puis, pour tout entier
non nul, par la relation de récurrence
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrecurrence/1.png)
![$u_1=2$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrecurrence/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrecurrence/3.png)
![$u_{n+1}=2-\dfrac1{u_n}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrecurrence/4.png)
- Calculer les premiers termes
,
et
. Donner les résultats sous forme fractionnaire.
- Montrer que, pour tout entier
non nul, on a
.
Correction
Cacher la correction
-
et
, puis
- Montrons par récurrence les propriétés
.
Initialisation: pour, on a
et
, ce qui montre que
est vraie.
Hérédité: Supposons que, pour un certain entiernon nul,
soit vraie, c'est-à-dire:
Alors,
ce qui montre que la propriétéest alors aussi vraie.
Conclusion: on vient de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entiernon nul, on a
.
Cacher la correction
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