Une petite récurrence

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=2$, puis, pour tout entier $n$ non nul, par la relation de récurrence $u_{n+1}=2-\dfrac1{u_n}$.
  1. Calculer les premiers termes $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Donner les résultats sous forme fractionnaire.
  2. Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a $u_n=\dfrac{n+1}n$.

Correction
  1. $u_2=2-\dfrac1{u_1}=2-\dfrac12=\dfrac32$ et $u_3=2-\dfrac1{u_2}=2-\dfrac23=\dfrac43$, puis $u_4=2-\dfrac1{u_3}=2-\dfrac34=\dfrac54$
  2. Montrons par récurrence les propriétés $P(n): u_n=\dfrac{n+1}n$.
    Initialisation: pour $n=1$, on a $u_1=2$ et $\dfrac{n+1}n=\dfrac{1+1}1=2$, ce qui montre que $P(1)$ est vraie.
    Hérédité: Supposons que, pour un certain entier $n$ non nul, $P(n)$ soit vraie, c'est-à-dire: $u_n=\dfrac{n+1}n$
    Alors,
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}&=2-\dfrac1{u_n}=2-\dfrac{n}{n+1}\\[.8em] &=\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}\\[.8em] &=\dfrac{n+2}{n+1} =\dfrac{(n+1)+1}{n+1}\enar\]

    ce qui montre que la propriété $P(n+1)$ est alors aussi vraie.
    Conclusion: on vient de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$ non nul, on a $u_n=\dfrac{n+1}n$.


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