Sujet 0, Bac 2021: Équation différentielle, exponentielle, suite

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de $225\,^\circ\text{C}$.
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
Dans cette modélisation, $f(t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi,$f(0,5)$ représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à $25\,^\circ\text{C}$.
On admet alors que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $y'+ 6y = 150$.


    1. Préciser la valeur de $f(0)$.
    2. Résoudre l'équation différentielle $y'+6y = 150$.
    3. En déduire que pour tout réel $t\geqslant 0$, on a $f(t) = 200 e^{-6t}+25$.
  2. Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four :
    • décroît ;
    • tend à se stabiliser à la température ambiante.

    La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?
  3. Montrer que l’équation $f(t) = 40$ admet une unique solution dans $[0~;~+\infty[ $.
    Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à $40\,^\circ\text{C}$. On note $\mathcal{T}_0$ le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
    On donne en page suivante la représentation graphique de la fonction $f $dans un repère orthogonal.

    \[\psset{xunit=5cm,yunit=0.025cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=0.1pt} \begin{pspicture}(-0.4,-20)(2.50,260) \multido{\n=0.0+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-20)(\n,260)} \multido{\n=0+20}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(2.1,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(2.1,260) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{2.1}{2.71828 x 6 mul neg exp 200 mul 25 add} \uput[d](1.75,-15){\footnotesize Dur\'ee en heure} \uput[r](0,250){\footnotesize Temp\'erature en degr\'e Celsius} \uput[ur](0.3,60){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture}\]


  4. Avec la précision permise par le graphique, lire $\mathcal{T}_0$. On donnera une valeur approchée de $\mathcal{T}_0$ sous forme d’un nombre entier de minutes.
  5. On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
    Ainsi, pour un entier naturel $n$, $\mathcal{D}_n$ désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la $n$-ième et la $(n+1)$-ième minute après sa sortie du four.
    On admet que, pour tout entier naturel $n$ :

    \[\mathcal{D}_n=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right).\]




    1. Vérifier que 19 est une valeur approchée de $\mathcal{D}_0$ à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    2. Vérifier que l’on a, pour tout entier naturel $n$:
      \[\mathcal{D}_n = 200 e^{-0,1n}\left(1 - e^{-0,1}\right).\]

      En déduire le sens de variation de la suite $\left(\mathcal{D}_n\right)$, puis la limite de la suite $\left(\mathcal{D}_n\right)$.
      Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?

Correction

    1. $f(0)$ représente la température d'une baguette lors de sa sortie du four, c'est-à-dire $225^{\circ}\text{C}$.
    2. Toutes les solutions de cette équation s'écrivent sous la forme:
      \[f(t) = \dfrac{150}{6} + Ce^{-6t} =25 + Ce^{-6t}\]

    3. On sait de plus que
      \[f(0)=225\iff Ce^{0} + 25 = 225 \iff C= 200\]

      et on a donc bien, pour tout réel $t \geqslant 0$ :
      \[f(t)= 200e^{-6t}+25\]

    • On a, pour tout réel $t \geqslant 0$, $f'(t)=-1200e^{-6t}$ et donc, comme $e^{-6t} > 0$, on en déduit que $f'(t)<0$ et donc que $f$ est bien strictement décroissante.
    • On a $\dsp\lim_{t\to+\infty}-6t=-\infty$, donc $\dsp\lim_{t\to+\infty}e^{-6t}=0$ et donc $\dsp\lim_{t\to+\infty}f(t)=25$.

    La fonction $f$ est donc en accord aussi avec l'observation selon laquelle la température tend à se stabiliser à la température ambiante de $25^{\circ}\text{C}$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[0:+\infty[$. Par ailleurs, $f(0)=225>40$ et $\lim\limits_{t\to+\infty} f(t)=25<40$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), il existe un unique élément $\alpha\in[0;+\infty[$ tel que $f(\alpha)=40$.

  4. \[\psset{xunit=5cm,yunit=0.025cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=0.1pt} \begin{pspicture}(-0.4,-20)(2.50,260) \multido{\n=-0.1+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-20)(\n,250)} \multido{\n=-20+20}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.1,\n)(2.1,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=20]{->}(0,0)(-0.05,-20)(2.1,250) \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{2.1}{2.71828 x 6 mul neg exp 200 mul 25 add} \uput[d](1.75,-15){\footnotesize Dur\'ee en heure} \uput[r](0,230){\footnotesize Temp\'erature en degr\'e Celsius} \uput[ur](0.3,60){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2,40)(0,40) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.43,40)(0.43,0) \uput*{5pt}[d](0.43,0){\red \small $~~0,43~~$} \end{pspicture}\]


    La courbe $\mathcal{C}_f$ semble atteindre $40$ vers $0,43$ heure soit $0,43 \times 60 = 25,8$ minutes. On trouve donc une valeur approchée de $26$ minutes.

    1. \[\begin{array}{ll} D_0 &= f\left(\dfrac{0}{60}\right)- f\left(\dfrac{1}{60}\right) \\ &= f(0) - f\left(\dfrac{1}{60}\right) \\ &= 200e^0 + 25 - \left(200e^{-\frac{6}{60}} + 25\right) \\ &= 200 - 200e^{-1/10} \\ &\approx 19,03\enar\]

      et donc $19$ est bien une valeur approchée de $\mathcal{D}_0$ à $0,1$ près, ce qui signifie que la température diminue d'environ $19^{\circ}\text{C}$ en une minute à la sortie du four.

    2. \[\begin{array}{ll}D_n &=f\left(\dfrac{n}{60}\right)- f\left(\dfrac{n+1}{60}\right) \\[1em] &= 200e^{- 6 \times \frac{n}{60}} + 25 - \lp200e^{-6 \times \frac{n+1}{60}} + 25\right) \\[.7em] &= 200e^{-0,1n} - 200e^{-0,1n} \times e^{-0,1} \\[.5em] &= 200e^{-0,1n}\left(1-e^{-0,1}\right) \enar\]

      Pour étudier le sens de variation de la suite $({D}_n)$, on étudie le signe de
      \[\begin{array}{ll} D_{n+1}-{D}_n &= 200e^{-0,1(n+1)}\lp1-e^{-0,1}\right) - 200e^{-0,1n}\lp1-e^{-0,1}\right) \\[.6em] &= 200e^{-0,1n}\lp1-e^{-0,1}\right) \left[e^{-0,1}-1\right]\\[.6em] &= -200e^{-0,1n}\lp1-e^{-0,1}\rp^2 \enar\]

      Dans cette expression, on a $200e^{-0,1n}\geqslant0$ et $\lp1-e^{-0,1}\rp^2\geqslant0$ d'où, $D_{n+1}-{D}_n\leqslant0$ et donc que la suite $D_n$ est décroissante.

      On a de plus $\dsp\lim_{n\to+\infty} 200e^{-0,1n}= 0$ d'où, par produit, $\dsp\lim_{n\to+\infty}D_n=0$.
      Cette limite est logique puisqu'on a vu que la température tend à se stabiliser à la température ambiante, et donc la diminution de température tend bien vers 0.


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