Bac 2008 (La Réunion) - Suite récurrente, somme des termes d'une suite arithmétique, récurrence

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $(u_n)_{n\in\N} définie par:
u_0=5\,,\ \mbox{ et, pour tout entier } n\geq1\,,\ u_n=\lp1+\frac{2}{n}\right) u_{n-1}+\frac{6}{n}\ .


    1. Calculer $u_1.
       
    2. Les valeurs de $u_2, $u_3, $u_4, $u_5, $u_6, $u_7, $u_8, $u_9, $u_{10}, $u_{11} sont respectivement égales à: $45, $77, $117, $165, $221, $285, $357, $437, $525, $621.
      A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite $(d_n)_{n\in\N} définie par $d_n=u_{n+1}-u_n.
     
  2. On considère la suite arithmétique $(v_n)_{n\in\N} de raison $8 et de premier terme $v_0=16.
    Justifier que la somme des $n premiers termes de cette suite est égale à $4n^2+12n.
     
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, on a: $ u_n=4n^2+12n+5
     
  4. Valider la conjecture émise à la question 1.b).


Correction


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