Suite récurrente avec un paramètre

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite définie par:   et .

1. Dans cette question, on donne et .
   1. Exprimer la différence , et en déduire le sens de variation de la suite .
   2. Démontrer que, pour tout entier , .
   3. En déduire que la suite converge.
   4. Déterminer la limite de la suite .
   
   
2. Dans cette question, on donne et .
   1. Etudier les variations de la fonction sur et montrer que .
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier , .
   3. En déduire que la suite converge.
   4. Déterminer la limite de la suite .

Correction
On considère la suite définie par:   et .

1. Dans cette question, on donne et , soit .
   1. .
      Ainsi, pour tout entier , , soit , et la suite est donc décroissante.
      
   2. Démontrons par récurrence la propriété: .
      Initialisation: Pour , , et on a donc bien .
      Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait .
      Alors, . Ainsi, comme , on a donc en multipliant ces deux dernières inégalités , soit .
      La propriété est donc encore vraie au rang .
      Conclusion: D'après le principe de récurrence, on a donc, pour tout entier , .
      
   3. La suite est donc décroissante et minorée par . On en déduit donc qu'elle converge vers une limite .
      
   4. La limite vérifie nécessairement (point fixe) .
      Ainsi, la suite converge vers .
   
   
2. Dans cette question, on donne et , soit .

   1. Pour tout , .   De plus, .

      
      
   2. 
      Initialisation: Pour , et . On a bien ainsi . Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait .
      Comme la fonction est croissante sur , on a donc .
      Or, , , et .
      Ainsi, , et la propriété est encore vraie au rang .
      Conclusion: D'après le principe de récurrence, pour tout entier , .
      
   3. La suite est donc croissante est majorée par . On en déduit qu'elle converge vers une limite .
   4. La limite vérifie nécessairement .
      Or est croissante avec , et donc, pour tout entier , .
      La limite de la suite ne peut donc être que .

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