Suite de Héron

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit la fonction définie sur par:   .

1. Dresser le tableau de variation de .
2. On considère la suite définie par:
   
   1. Calculer et (donner les résultats sous forme de frations irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à près).
   2. Démontrer, par récurrence, que pour tout , on a:
   3. Démontrer que, pour tout : .
   4. En déduire, par récurrence, que pour tout entier , .
   5. En déduire la limite de la suite .

Correction
Soit la fonction définie sur par:   .

1. .

   
   
2. On considère la suite définie par:
   
   1. 
      
      
   2. Initialisation: et , ainsi on a bien , et la propriété est vraie au rang .
      Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait .
      Alors, comme est strictement croissante sur , donc aussi sur , on a alors
      
      
      
      soit, comme , , et ,
      
      
      
      et la propriété est encore vraie au rang . Conclusion: D'après le principe de récurrence, on vient de démontrer que, pour tout entier , .
      
   3. 
      or, car et .
      Ainsi, pour tout entier , .
      
   4. Initialisation: , car , et la propriété est donc vraie au rang .
      Hérédité: Supposons que pour un entier on ait: .
      D'après la question précédente, on a , et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence: .
      
   5. Comme , on a , et donc, .
      Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on a donc , soit donc, .

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