Suite de Héron
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Soit
la fonction définie sur
par: 
.



- Dresser le tableau de variation de
.
- On considère la suite
définie par:
- Calculer
et
(donner les résultats sous forme de frations irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à
près).
- Démontrer, par récurrence, que pour tout
, on a:
- Démontrer que, pour tout
:
.
- En déduire, par récurrence, que pour tout entier
,
.
- En déduire la limite de la suite
.
- Calculer
Correction
Soit
la fonction définie sur
par: 
.
Cacher la correction
Soit



-
.
- On considère la suite
définie par:
-
-
Initialisation:
et
, ainsi on a bien
, et la propriété est vraie au rang
.
Hérédité: Supposons que pour un entier, on ait
.
Alors, commeest strictement croissante sur
, donc aussi sur
, on a alors
soit, comme,
,
et
,
et la propriété est encore vraie au rang. Conclusion: D'après le principe de récurrence, on vient de démontrer que, pour tout entier
,
.
-
or,car
et
.
Ainsi, pour tout entier,
.
-
Initialisation:
, car
, et la propriété est donc vraie au rang
.
Hérédité: Supposons que pour un entieron ait:
.
D'après la question précédente, on a, et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence:
.
- Comme
, on a
, et donc,
.
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on a donc, soit donc,
.
-
Cacher la correction
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