Oral de Bac - suite récurrente affine - Conjectures graphiques et suite auxiliaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $$\left( u_n\rp$ la suite définie par

et $$u_{n+1}=\dfrac13u_n+5$ .

Calculer et .
Tracer les droites d'équations $$y=\dfrac13x+5$ et . Construire sur ce graphique les premières termes , , ,… de la suite.
Quelles conjectures peut-on faire ?
Soit la suite définie par . Déterminer le réel pour que la suite soit géométrique de raison $$\dfrac13$ .
Exprimer alors , puis , en fonction de . En déduire la limite de $$\left( u_n\rp$ .

Correction

$$u_1=\dfrac13u_0+5=\dfrac13\tm2+5=\dfrac{17}{3}$ ; $$u_2=\dfrac13u_1+5=\dfrac13\tm\dfrac{17}{3}+5=\dfrac{62}{9}$
$\psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,10) \psline{->}(-.5,0)(10,0) \psline{->}(0,-.5)(0,10) \newcommand{\f}[1]{1 3 div #1 mul 5 add} \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{9.5}{\f{x}} \rput(10,7.3){$y=\dfrac13x+5$} \psplot{-0.2}{9.5}{x}\rput(8.8,9.5){$y=x$} \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } \def\xinit{2}\def\nmax{4} \psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$} \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$} } \def\ninf{20} \psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$} \rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$} \end{pspicture}$

On peut conjecturer à partir de ce graphique que la suite $$\left( u_n\rp$ est croissante et converge vers l'abscisse $$\ell$ du point d'intersection des deux droites, soit $$\ell$ tel que $$y=\ell=\dfrac13\ell+5 \iff \ell=\dfrac{15}{2}$ .
$$v_{n+1}=u_{n+1}+h=\dfrac13u_n+5+h=\dfrac13\left( u_n+15+3h\rp$ .
Pour que soit géométrique, on doit avoir $$v_{n+1}=\dfrac13v_n=\dfrac13\left( u_n+h\rp$ , et on doit ainsi avoir $$u_n+h=u_n+15+3h \iff h=-\dfrac{15}{2}$ .
On a $$v_0=u_0+h=2-\dfrac{15}{2}=-\dfrac92$ , et alors $$v_n=\lp\dfrac13\rp^nv_0=-\dfrac{1}{3^n}\tm\dfrac92$ .
Comme $$v_n=u_n+h=u_n-\dfrac{15}{2}$ , on a donc $$u_n=v_n+\dfrac{15}{2}$ .

est une suite géométrique de raison $$-1<\dfrac13<1$ , et donc, $$\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0$ .
Ainsi, $$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\left( v_n+\dfrac{15}{2}\rp=\dfrac{15}{2}$ , et on démontre ainsi la limite conjecturée à la question 2.

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