Oral de Bac - Deux droites perpendiculaires dans un carré

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

est un carré. On définit les points

par $$\overrightarrow{AI}=\dfrac23\overrightarrow{AB}$ et $$\overrightarrow{AJ}=\dfrac13\overrightarrow{AD}$ .
Montrer que les droites

sont perpendiculaires.

Correction
Pour montrer que les droites

sont perpendiculaires, on peut montrer que les vecteurs $$\overrightarrow{DI}$ et $$\overrightarrow{JC}$ sont orthogonaux, donc que leur produit scalaire est nul.

Méthode 1:

$\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(-.2,-.2){$A$}\rput(3.2,-.2){$B$}\rput(3.,3.2){$C$}\rput(.1,3.2){$D$} \psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$I$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.3,1){$J$} \psplot{-.4}{2.5}{-3 2 div x mul 3 add} \psplot{-.7}{3.5}{2 3 div x mul 1 add} \end{pspicture}$

En notant

le coté du carré:

$\begin{array}{ll} \overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{JC}&=\left( \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}\rp\cdot\left(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC}\rp\\[.4cm] &=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{JD}+\underbrace{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}}_{=0}+\underbrace{\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{JD}}_{=0}+\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{DC}\\[.6cm] &=\lp-\overrightarrow{AD}\rp\cdot\lp\dfrac23\overrightarrow{AD}\rp +\lp\dfrac23\overrightarrow{AB}\rp\cdot\overrightarrow{DC}\\[0.4cm] &=-\dfrac23 a^2 + \dfrac23 a^2=0 \enar$

Méthode 2: Dans le repère orthonormal $$\left( A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rp$ :

$\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red,arrowsize=9pt]{->}(0,0)(0,3) \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red,arrowsize=9pt]{->}(0,0)(3,0) \rput(-.2,-.2){$A$}\rput(3.2,-.2){$B$}\rput(3.,3.2){$C$}\rput(.1,3.2){$D$} \psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$I$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.3,1){$J$} \psplot{-.4}{2.5}{-3 2 div x mul 3 add} \psplot{-.7}{3.5}{2 3 div x mul 1 add} \end{pspicture}$

On a les coordonnées des points $$J\lp0;\dfrac13\rp$ , $$D\lp0;1\rp$ , $$I\lp\dfrac23;0\rp$ et $$C\lp1;1\rp$ , donc des vecteurs $$\overrightarrow{DI}\left( \dfrac23;-1\rp$ et $$\overrightarrow{JC}\left( 1;\dfrac23\rp$ . Ainsi, $$\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{JC}=\dfrac23\tm1+(-1)\tm\dfrac23=0$ .

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Tag:Géométrie dans l'espace

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