Oral de Bac - Deux droites perpendiculaires dans un carré
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale





Montrer que les droites


Correction
Pour montrer que les droites
et
sont perpendiculaires, on peut montrer que les vecteurs
et
sont orthogonaux, donc que leur produit scalaire est nul.
Méthode 1:
En notant
le coté du carré:
Méthode 2: Dans le repère orthonormal
:
On a les coordonnées des points
,
,
et
,
donc des vecteurs
et
.
Ainsi,
.
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Pour montrer que les droites




Méthode 1:

En notant

![\begin{array}{ll}
\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{JC}&=\left( \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}\rp\cdot\left(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC}\rp\\[.4cm]
&=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{JD}+\underbrace{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}}_{=0}+\underbrace{\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{JD}}_{=0}+\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{DC}\\[.6cm]
&=\lp-\overrightarrow{AD}\rp\cdot\lp\dfrac23\overrightarrow{AD}\rp
+\lp\dfrac23\overrightarrow{AB}\rp\cdot\overrightarrow{DC}\\[0.4cm]
&=-\dfrac23 a^2 + \dfrac23 a^2=0
\enar](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOral02_c/7.png)
Méthode 2: Dans le repère orthonormal

![\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red,arrowsize=9pt]{->}(0,0)(0,3)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red,arrowsize=9pt]{->}(0,0)(3,0)
\rput(-.2,-.2){$A$}\rput(3.2,-.2){$B$}\rput(3.,3.2){$C$}\rput(.1,3.2){$D$}
\psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$I$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.3,1){$J$}
\psplot{-.4}{2.5}{-3 2 div x mul 3 add}
\psplot{-.7}{3.5}{2 3 div x mul 1 add}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOral02_c/9.png)
On a les coordonnées des points







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Tag:Géométrie dans l'espace
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