logarithme, asymptote oblique et position relative et calcul d'aire
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction définie sur l'intervalle
par: .
On note sa courbe représentative.
On note sa courbe représentative.
- Montrer que la droite d'équation est une asymptote à en .
- Etudier la position relative de la courbe et de la droite .
- On admet que est strictement croissante sur .
Tracer dans un repère l'allure de .
On prendra comme unités: 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées. - Soit un entier naturel non nul.
On considère le domaine du plan compris entre la courbe , la droite , et les droites d'équations respectives et .
- Justifier que cette aire, exprimée en , est donnée par: .
- Montrer que la fonction
est une primitive de la fonction sur
.
- En déduire une expression de en fonction de .
- Calculer la limite de l'aire du domaine quand tend vers .
Correction
(D'après Liban 2012)
On considère la fonction définie sur l'intervalle par: .
On note sa courbe représentative.
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(D'après Liban 2012)
On considère la fonction définie sur l'intervalle par: .
On note sa courbe représentative.
- Pour tout , on a
,
et donc, par croissances comparées,
.
Ainsi, la droite d'équation est une asymptote à en . - Pour tout , .
Or, pour tout , , et , et donc, : est toujours au dessous de sur .
-
-
- L'aire de est, compte tenu de l'unité d'aire de 2
de notre graphique, et de la linéarité de l'intégrale,
- Pour tout ,
,
avec , donc
et , donc .
Ainsi,
Ainsi, est bien une primitive de la fonction sur .
- On en déduit que
- Comme , par croissances comparées, la limite de l'aire du domaine quand tend vers est: .
- L'aire de est, compte tenu de l'unité d'aire de 2
de notre graphique, et de la linéarité de l'intégrale,
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