logarithme, asymptote oblique et position relative et calcul d'aire

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[1;+\infty[$ par: $f(x)=2x-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$ est une asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
  2. Etudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
  3. On admet que $f$ est strictement croissante sur $I$. Tracer dans un repère l'allure de $\mathcal{C}$.
    On prendra comme unités: 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées.
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$, et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$.
    1. Justifier que cette aire, exprimée en $\text{cm}^2$, est donnée par: $\displaystyle I_n=2\int_0^n \dfrac{\ln x}{x^2}\,dx$.
    2. Montrer que la fonction $F:x\mapsto -\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac1x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$ sur $[1;+\infty[$.
    3. En déduire une expression de $I_n$ en fonction de $n$.
    4. Calculer la limite de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Correction
(D'après Liban 2012)
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[1;+\infty[$ par: $f(x)=2x-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Pour tout $x\geqslant 1$, on a $f(x)-2x=-\dfrac{\ln x}{x^2}$, et donc, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)-2x=0$.
    Ainsi, la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$ est une asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
  2. Pour tout $x\geqslant 1$, $f(x)-2x=-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
    Or, pour tout $x\geqslant 1$, $\ln(x)\geqslant0$, et $x^2>0$, et donc, $f(x)-2x=-\dfrac{\ln x}{x^2}\leqslant0$: $\mathcal{C}$ est toujours au dessous de $\Delta$ sur $[1;+\infty[$.

  3. \[\psset{xunit=1cm,yunit=.6cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(1,1.5)(5,8) \psline{->}(.8,2)(5,2) \psline{->}(1,1.5)(1,8) \psplot{1}{5}{2 x mul x ln x x mul div sub} \psplot{1}{5}{2 x mul} %\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2)(0,2) \rput(1.1,1.3){1}\rput(.6,2){2} \end{pspicture}\]


    1. L'aire de $\mathcal{D}$ est, compte tenu de l'unité d'aire de 2 $\text{cm}^2$ de notre graphique, et de la linéarité de l'intégrale,
      \[I_n=2\left( \int_1^n f(x)\,dx-\int_1^n 2x\,dx\right) =2\int_1^n \left( f(x)-2x\right) dx =2\int_0^n \dfrac{\ln x}{x^2}\,dx \]

    2. Pour tout $x\geqslant 1$, $F(x)=-\dfrac{u(x)}{v(x)}-\dfrac1x$, avec $u(x)=\ln x$, donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=x$, donc $v'(x)=1$.
      Ainsi, $F'(x)=-\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left( v(x)\rp^2}-\left(-\dfrac{1}{x^2}\rp =-\dfrac{\dfrac1x\,x-\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2} =\dfrac{\ln x}{x^2}$
      Ainsi, $F$ est bien une primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$ sur $[1;+\infty[$.
    3. On en déduit que $I_n=2\left( F(n)-F(1)\right) =2\lp\lp-\dfrac{\ln n}{n}-\dfrac{1}{n}\rp-\lp -\dfrac{\ln1}{1}-\dfrac{1}{1}\rp\rp =2-2\dfrac{1+\ln n}{n}$
    4. Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0$, par croissances comparées, la limite de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est: $\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n=2$.


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