logarithme, asymptote oblique et position relative et calcul d'aire

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[1;+\infty[$ par: $f(x)=2x-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$ est une asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
  2. Etudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
  3. On admet que $f$ est strictement croissante sur $I$. Tracer dans un repère l'allure de $\mathcal{C}$.
    On prendra comme unités: 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées.
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$, et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$.
    1. Justifier que cette aire, exprimée en $\text{cm}^2$, est donnée par: $\displaystyle I_n=2\int_0^n \dfrac{\ln x}{x^2}\,dx$.
    2. Montrer que la fonction $F:x\mapsto -\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac1x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$ sur $[1;+\infty[$.
    3. En déduire une expression de $I_n$ en fonction de $n$.
    4. Calculer la limite de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Correction


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