Fonctions et intégrales
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On donne le tableau de variation d'une fonction
dérivable sur
:



- On considère les intégrales suivantes:
Pour une seule de ces intégrales on peut affirmer qu'elle est positive, et pour une seule on peut affirmer qu'elle est négative.
Préciser ces deux intégrales et justifier ce choix.
- A l'aide des informations contenues dans le tableau de variation
de
, donner un encadrement par des nombres entiers des intégrales suivantes:
- On définit, pout tout réel
, la fonction
par
.
- Déterminer deux entiers naturels
et
tels que
.
- Etudier la limite de
lorsque
tend vers
.
- Etudier le sens de variation de la fonction
.
- Déterminer deux entiers naturels
Correction
Cacher la correction
- Comme la fonction
est positive sur
, on a:
.
Comme la fonctionest négative sur l'intervalle
, on a:
.
- Pour tout réel
, on a:
.
En intégrant pourallant de
à
, on obtient, car l'intégrale conserve l'ordre,
De même, sur l'intervalle,
, et donc,
-
- D'après la relation de Chasles:
, d'où
.
- Pour tout réel
, on a
.
Ainsi, si, alors
.
Or,, et donc, par comparaison (théorème des gendarmes), on en déduit que
.
-
est la primitive de
qui s'nnule en
, et ainsi,
.
Commeest négative sur
,
est décroissante sur
, et comme
est positive sur
,
est croissante sur
.
- D'après la relation de Chasles:
Cacher la correction
Tag:Intégrales
Voir aussi:
Quelques devoirs
intégration, Calculs d'intégrales - Suite d'intégrales (Bac S, 19 juin 2014) - Dimensionnement d'un récupérateur d'eau (Bac S - Amérique du nord, 1er juin 2016)
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