Fonctions et intégrales

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On donne le tableau de variation d'une fonction

dérivable sur

On considère les intégrales suivantes:

Pour une seule de ces intégrales on peut affirmer qu'elle est positive, et pour une seule on peut affirmer qu'elle est négative.
Préciser ces deux intégrales et justifier ce choix.
A l'aide des informations contenues dans le tableau de variation de , donner un encadrement par des nombres entiers des intégrales suivantes:
On définit, pout tout réel , la fonction par .
1. Déterminer deux entiers naturels et tels que .
2. Etudier la limite de lorsque tend vers .
3. Etudier le sens de variation de la fonction .

Correction

Comme la fonction est positive sur , on a: .
Comme la fonction est négative sur l'intervalle , on a: .
Pour tout réel , on a: .
En intégrant pour allant de à , on obtient, car l'intégrale conserve l'ordre,

De même, sur l'intervalle , , et donc,
1. D'après la relation de Chasles: , d'où .
2. Pour tout réel , on a .
  Ainsi, si , alors .
  Or, , et donc, par comparaison (théorème des gendarmes), on en déduit que .
3. est la primitive de qui s'nnule en , et ainsi, .
  Comme est négative sur , est décroissante sur , et comme est positive sur , est croissante sur .

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