Études de fonctions, limites, … (bis)

On considère la fonction définie sur par l'expression .
On cherche à montrer que la fonction admet un maximum sur et, bien sür, à localiser ce maximum.
Partie A. Etude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction définie sur par l'expression . On note sa courbe représentative.

1. Déterminer les limites de en et .
   Préciser les éventuelles asymptotes de .
   
2. Dresser le tableau de variation de .
   
3. Démontrer qu'il existe un unique réel tel que .
   Donner un encadrement de d'amplitude .

Partie B. Etude de

1. Déterminer le sens de variation de la fonction sur .
2. Déterminer les limites de en et .
3. En déduire que admet sur son maximum en et montrer que .
   En déduire en encadrement d'amplitude du maximum de .

Correction
définie sur par l'expression .
Partie A. Fonction auxiliaire: définie sur par l'expression .

1. En : .
   et, par croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes, , et ainsi, par addition des limites, .
   On en déduit que la droite d'équation est une asymptote horizontale à en .
   
    
   En : , et , d'où, par produit des limites, .
   
2. , avec et donc,
   Ainsi, , soit .
   On a alors,
   
   
   
   
   
3. Pour tout , , et donc l'équation n'admet aucune solution.
   Sur , est continue (et même dérivable), strictement décroissante, et telle que et . Ainsi, il existe un unique réel tel que , avec de plus .
   On trouve avec la calculatrice, et . Ainsi, .

Partie B. Etude de

1. On a , avec et donc, . Ainsi, ,
   soit, pour tout , .
   Comme pour tout , , on a et donc, , et, d'après la partie A, on a donc,
   
   
   
   
   
2. En , on a simplement, .
   En , , avec , par croissance comparée, et . Ainsi, par produit et quotient de limites, on obtient .
   
3. On déduit du tableau de variation précédent que admet un maximum global en . De plus, on avait .
   Alors, .
   On a donc, grâce à la partie A, .

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