Études de fonctions, limites, …

On considère la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.

1. Soit la fonction définie sur par: .
   1. Etudier les variations de la fonction sur . En déduire le signe de .
      
   2. Montrer que, pour tout réel , est strictement positif.
    
2. 1. Calculer les limites de la fonction en et .
   2. Interpréter graphiquement les résultats précédents.
    
3. 1. Calculer , désignant la fonction dérivée de .
   2. Etudier le sens de variation de puis dresser son tableau de variation.
   3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse .

Correction

1. 1. est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine, dérivables sur , donc est dérivable sur avec, On déduit du tableau de variation que, pour tout , .

       
   2. D'après ce qui précède, pour tout , , et donc, pour tout , .
   
   
    
2. a), b) En : , or , donc, ,
   et, , donc, : la droite est asymptote à en .
   En : ; on factorise donc par dans : ,
   
    
   or, , d'où, : la droite d'équation est asymptote à en .
    
3. 1. est le quotient des fonctions et dérivables sur , et dont le dénominateur ne s'annule pas sur , d'après la question b). est donc dérivable sur , avec:
      
      
      
      
      
   2. a pour équation: , avec et , d'où l'équation, .
   3. 
      
      
      
      
      

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