Études de fonctions, limites, …

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction définie sur par .
 
On note sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.
 
  1. Soit la fonction définie sur par: .
    1. Etudier les variations de la fonction sur . En déduire le signe de .
    2. Montrer que, pour tout réel , est strictement positif.
     
    1. Calculer les limites de la fonction en et .
    2. Interpréter graphiquement les résultats précédents.
     
    1. Calculer , désignant la fonction dérivée de .
    2. Etudier le sens de variation de puis dresser son tableau de variation.
    3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse .

Correction
    1. est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine, dérivables sur , donc est dérivable sur avec,

      On déduit du tableau de variation que, pour tout , .
       


       
    2. D'après ce qui précède, pour tout , , et donc, pour tout , .

     
  2. a), b) En : , or , donc, ,
    et, , donc, : la droite est asymptote à en .
    En : ; on factorise donc par dans : ,
     
    or, , d'où, : la droite d'équation est asymptote à en .
     
    1. est le quotient des fonctions et dérivables sur , et dont le dénominateur ne s'annule pas sur , d'après la question b). est donc dérivable sur , avec:


    2. a pour équation: , avec et , d'où l'équation, .





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