Étude complète d'une fonction …

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x-2)e^x$.
  1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Interpréter graphiquement ces résultats.
  2. Étudier les variations de $f$.
  3. Tracer l'allure de la courbe de $f$, en utilisant tous les résultats précédents.

Correction
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x-2)e^x$.
  1. En $-\infty$, on a $f(x)=xe^x-2e^x$, où, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ et comme $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ on a donc par addition des limites $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.

    En $+\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, d'où, par produit des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

    On en déduit que la droite d'équation $y=0$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $-\infty$. Il n'y a pas d'asymptote horizontale en $+\infty$.
  2. On a $f=uv$ avec $u(x)=x-2$ donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$, et alors $f'=u'v+uv'$, soit $f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$.
    On peut alors dresser le tableau de variation de $f$,
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && 1 && $+\infty$ \\\hline $x-2$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline $e^x$ && $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $f'(x)$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline &0&&&&$+\infty$\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-e$&&\\\hline \end{tabular}\]

  3. On trace l'assymptote horizontale, et on n'oublie pas non plus la tangente horizontale au point $(1;-e)$ de la courbe.
    \[\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-3.5,-3.)(3.5,2.7) \psline{->}(-3.5,0)(3.5,0) \psline{->}(0,-3)(0,2.7) \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.5}{3.5}{x 2 sub 2.718 x exp mul} \psline[linecolor=blue](-4,0)(4,0)\rput(-1,.2){\blue$y=2$} \rput(-.1,-.2){0} \psline(-.1,-2.718)(.1,-2.718)\rput[r](-.15,-2.72){$-e$} \psline[linestyle=dashed](0,-2.718)(1,-2.718)(1,0) \rput(1,.2){1} \psline[linecolor=red]{<->}(.4,-2.718)(1.6,-2.718) \end{pspicture*}\]



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