Encadrement de e

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

  1. Montrer que, pour tout $x$ réel, $e^x\geqslant x+1$.
    On pourra étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto e^x-(x+1)$.
  2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, les deux inégalités suivantes:
    $(I_1): e\geqslant \lp1+\dfrac1n\rp^n$      et      $(I_2): \dfrac1e\geqslant \lp1-\dfrac1n\rp^n$

  3. En déduire l'encadrement $\lp1+\dfrac1n\rp^n\leqslant e\leqslant\lp1-\dfrac1n\rp^{-n}$
  4. On prend $n=1000$, donner un encadrement à $10^{-3}$ près de $e$.

Correction
  1. Soit $f:x\mapsto e^x-(x+1)$, définie sur $\R$.
    On a alors $f'(x)=e^x-1$ et alors $f'(x)>0\iff e^x>1=e^0\iff x>0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$. On a ainsi le tableau de variation
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && 1 && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&0&&\\\hline \end{tabular}\]

    avec $f(0)=e^0-(0+1)=0$.
    Ainsi, le minimum de $f$ sur $\R$ est $f(0)=0$, et en particulier, pour tout réel $x$, on a
    \[\begin{array}{ll}f(x)\geqslant f(0)=0 &\iff e^x-(x+1)\geqslant0\\ &\iff e^x\geqslant x+1\enar\]


  2. En posant $x=\dfrac1n$ dans l'inégalité obtenue à la question précédente, on obtient
    \[e^{1/n}\geqslant\lp\dfrac1n+1\rp\]

    soit, en élevant à la puissance $n$, car $x\mapsto x^n$ est croissante sur $\R_+$,
    \[\left( e^{1/n}\rp^n\geqslant\left(\dfrac1n+1\rp^n\]

    c'est-à-dire
    \[(I_1): e\geqslant\lp\dfrac1n+1\rp^n\]


    De même, en posant cette fois $x=-\dfrac1n$ dans l'inégalité de la question 1., on obtient
    \[e^{-1/n}\geqslant\lp\dfrac-1n+1\rp\]

    puis, à la puissance $n$,
    \[\left( e^{-1/n}\rp^n\geqslant\left(-\dfrac1n+1\rp^n\]

    c'est-à-dire aussi,
    \[(U_2): e^{-1}=\dfrac1e\geqslant\lp1-\dfrac1n\rp^n\]


  3. On a directement d'une part: $(I_1): \lp1+\dfrac1n\rp^n\leqslant e$.
    Par ailleurs, en prenant l'inverse dans $(I_2)$, et en inversant l'ordre car $x\mapsto\dfrac1x$ est décroissante sur $\R_+^*$
    \[e\leqslant\dfrac1{\lp1-\dfrac1n\rp^n}=\lp1-\dfrac1n\rp^{-n}\]

    On a donc obtenu l'encadrement
    \[\lp1+\dfrac1n\rp^n\leqslant e\leqslant\lp1-\dfrac1n\rp^{-n}\]

  4. avec $n=1000$, on a
    \[\lp1+\dfrac1n\rp^n=2,717\]

    et
    \[\lp1-\dfrac1n\rp^{-n}=2,720\]

    et ainsi l'encadrement
    \[2,717 \leqslant e \leqslant 2,720\]



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