Encadrement de e
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
- Montrer que, pour tout
réel,
.
On pourra étudier les variations de la fonction.
- En déduire que pour tout entier naturel
, les deux inégalités suivantes:
  et  
- En déduire l'encadrement
- On prend
, donner un encadrement à
près de
.
Correction
Cacher la correction
- Soit
, définie sur
.
On a alorset alors
car la fonction exponentielle est strictement croissante sur
. On a ainsi le tableau de variation
avec.
Ainsi, le minimum desur
est
, et en particulier, pour tout réel
, on a
- En posant
dans l'inégalité obtenue à la question précédente, on obtient
soit, en élevant à la puissance, car
est croissante sur
,
c'est-à-dire
De même, en posant cette foisdans l'inégalité de la question 1., on obtient
puis, à la puissance,
c'est-à-dire aussi,
- On a directement d'une part:
.
Par ailleurs, en prenant l'inverse dans, et en inversant l'ordre car
est décroissante sur
On a donc obtenu l'encadrement
- avec
, on a
et
et ainsi l'encadrement
Cacher la correction
Tag:Exponentielle
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