Bac 2021 (15 mars 2021): exponentielles, distance entre deux courbes

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Le graphique suivant représente, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par:
\[f(x) = x^2e^{-x}\quad \text{ et } \quad g(x) = e^{-x}\]


\[\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-1)(2.5,9) \multido{\n=0+2}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](-2.5,\n)(2.5,\n)} \multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](\n,-1)(\n,9)} \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-1)(2.5,9) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{x dup mul 2.71828 x exp div} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{2.71828 x neg exp} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-0.6,-1)(-0.6,9) \psdots(-0.6,0.656)(-0.6,1.822) \uput[r](-0.6,0.656){\footnotesize $N$}\uput[r](-0.6,1.822){\footnotesize $M$} \uput[r](-1.4,7){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[l](-2.1,7.4){\red $\mathcal{C}_g$} \end{pspicture*} \]


    1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    2. Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  2. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, on considère les points $M$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ de coordonnées $(x~;~g(x))$, et on note $d(x)$ la distance $MN$. On admet que : $d(x)= e^{-x} - x^2e^{-x}$.
    On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$ et on note $d'$ sa fonction dérivée.
    1. Montrer que $d'(x) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2x - 1\right)$.
    2. En déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
    3. Déterminer l'abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d'obtenir une distance $d\left(x_0\right)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0,1$ près de la distance $M_0N_0$.
  3. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 2$.
    On considère la fonction $h$ dérivable sur $\R$ et définie par: $h(x) = e^{-x} - x - 2$.
    En étudiant le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $\mathcal{C}_g$.

Correction


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