Deux équations avec logarithme
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Résoudre les équations
et


Correction
![\[\begin{array}{ll}&\hspace{-1em}(E_1):2^{-2x+1}=3\\[.5em]
&\iff\ln\lp2^{-2x+1}\rp=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)\ln(2)=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\\[.9em]
&\iff x=-\dfrac12\lp\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}-1\right)
\simeq-0,3
\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-eq-ln-bis_c/1.png)
Pour la deuxième équation, il faut que
et que
soit donc, au final, on doit avoir
.
Pour
, on a
![\[\begin{array}{ll}
&\hspace{-1em}(E_2):\ln(x)+\ln(3x+2)=0\\
&\iff\ln\bigl(x(3+2)\bigr)=0\\
&\iff x(3x+2)=e^0=1\\
&\iff 3x^2+2x-1=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-eq-ln-bis_c/6.png)
Cette équation du second degré a pour discriminant
et admet deux racines
et
.
La première racine n'est pas solution de l'équation
qui a donc pour unique solution
.
Cacher la correction
![\[\begin{array}{ll}&\hspace{-1em}(E_1):2^{-2x+1}=3\\[.5em]
&\iff\ln\lp2^{-2x+1}\rp=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)\ln(2)=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\\[.9em]
&\iff x=-\dfrac12\lp\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}-1\right)
\simeq-0,3
\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-eq-ln-bis_c/1.png)
Pour la deuxième équation, il faut que



Pour

![\[\begin{array}{ll}
&\hspace{-1em}(E_2):\ln(x)+\ln(3x+2)=0\\
&\iff\ln\bigl(x(3+2)\bigr)=0\\
&\iff x(3x+2)=e^0=1\\
&\iff 3x^2+2x-1=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-eq-ln-bis_c/6.png)
Cette équation du second degré a pour discriminant



La première racine n'est pas solution de l'équation


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Tag:Logarithme
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