Bac 2021 (15 mars - sujet 1): Logarithme et convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac3x\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.


  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
    \[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.\]


    1. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. On admettra que $\dsp\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
    2. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac53$.
  4. Étudier la convexité de la fonction $f$ c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave.
    On justifiera que la courbe $\mathcal C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

Correction


Tags:LogarithmeConvexité

Autres sujets au hasard: Lancer de dés

Voir aussi:

Quelques devoirs


LongPage: h2: 1 - h3: 0