Bac 2021 (15 mars - sujet 1): Logarithme et convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction

définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

$f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac3x$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de

dans un repère orthonormé.

Déterminer la limite de la fonction en $+\infty$ .
On admet que la fonction est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout nombre réel , on a :

$f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.$
1. Donner le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ . On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de en et en $+ \infty$ . On admettra que $\dsp\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ .
2. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac53$ .
Étudier la convexité de la fonction c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ sur lesquelles est convexe, et celles sur lesquelles est concave.
On justifiera que la courbe $\mathcal C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

Tags:Logarithme Convexité

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