Bac 2022 (11 mai): Un peu de tout dans l'espace
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
,
on considère:
![$\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex11052022/1.png)
- le point A de coordonnées
,
- la droite
dont une représentation paramétrique est:
.
-
- Donner les coordonnées d'un vecteur directeur
de la droite
. On admet que le point A n'appartient pas à la droite
.
- Montrer que le point
appartient à la droite
.
- Calculer le produit scalaire
.
- Donner les coordonnées d'un vecteur directeur
- On note
le plan passant par le point A et orthogonal à la droite
, et on appelle H le point d'intersection du plan
et de la droite
. Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite
.
- Montrer que le plan
admet pour équation cartésienne:
.
- En déduire que le point H a pour coordonnées
.
- Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.
- Montrer que le plan
- Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite
, par une autre méthode. On rappelle que le point B
appartient à la droite
et que le vecteur
est un vecteur directeur de la droite
.
- Justifier qu'il existe un nombre réel
tel que
.
- Montrer que
.
- Calculer la valeur du nombre réel
et retrouver les coordonnées du point H.
- Justifier qu'il existe un nombre réel
- On considère un point C appartenant au plan
tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à
. Calculer l'aire du triangle ACH.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:où
désigne l'aire d'une base et
la hauteur relative à cette base.
Correction
Cacher la correction
-
- Un vecteur directeur est donné par
- Avec les coordonnées de B, on a
ce qui montre que B appartient bien à la droite.
- On a
donc
- Un vecteur directeur est donné par
-
- Le plan
est orthogonale à la droite
dirigée par
qui est donc un vecteur normal à ce plan qui admet donc une équation cartésienne de la forme
On sait de plus que, et donc que
Finalement, on a trouvé une équation cartésienne du plan:
- Le plan
et la droite
sont orthogonaux; en particulier ils se coupent en un unique point
.
Soit, alors
et de plus,
et on obtient alors les coordonnées
qui sont bien les coordonnées recherchées du point H.
-
- Le plan
-
- Les points H et B appartiennent tous les deux à la droite
, et
est un vecteur directeur de cette droite.
On en déduit que les vecteurset
sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel
tel que
.
- D'après le résultat précédent, en prenant le produit scalaire
avec
on obtient
d'où
Maintenant pour faire intervenir le vecteuron peut utiliser la relation de Chasles:
orcar
et
et
normal à
.
On vient donc de trouver que
et donc la relation souhaitée:
-
D'après la question 1.c. on a
, et comme
, on obtient que
et on retrouve les coordonnées du point H(x;y;z):
- Les points H et B appartiennent tous les deux à la droite
- BH est une hauteur relative à la base ACH,
et donc, avec
avec
et, d'où l'aire de la base ACH:
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Tag:Géométrie dans l'espace
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