Bac 2021 (Sujet 0): Un peu de tout dans l'espace, dans un cube

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère le cube

de côté 1,

est le milieu de

le symétrique de

par rapport à

.

Dans tous les exercices, l'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\rp$ .

$(-0.5,.6)(6.3,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](1,0.5) \psline(4,0.5)(4,3.5) \psline(4,3.5)(1,3.5) \psline(0,3)(1,3.5) \psline(3,3)(4,3.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5) \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(3.2,-0.2){$B$} \rput(4.3,0.6){$C$} \rput(1.2,0.7){$D$} \rput(-.2,3){$E$} \rput(2.95,3.2){$F$} \rput(4.3,3.7){$G$} \rput(.7,3.7){$H$} \rput(1.5,2.98){$\tm$}\rput(1.5,2.65){$I$} \psline[linewidth=.5pt](3,3)(6,3) \rput(6,2.98){$\tm$}\rput(5.9,2.65){$J$}$

1. Par lecture graphique, donner les coordonnées de et .
2. En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}$ , $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$ .
3. Montrer que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan .
4. Montrer qu'une équation cartésienne du plan est .
On note la droite passant par et orthogonale au plan .
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
2. On considère le point de coordonnées $\lp\dfrac23;\dfrac16;\dfrac56\rp$ .
  Montrer que est le point d'intersection de la droite et du plan .
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule , où est l'aire d'une base et la hauteur associée à cette base.
1. Calculer le volume de la pyramide .
2. En déduire l'aire du triangle .

Correction

1. Par lecture graphique, $I\lp\frac12;0;1\rp$ et $J\lp2;0;1\rp$ .
2. On en déduit $\overrightarrow{DJ}\lp2;-1;1\rp$ , $\overrightarrow{BI}\lp-\frac12;0;1\rp$ et $\overrightarrow{BG}\lp0;1;1\rp$ .
3. $\overrightarrow{DJ}$ est normal au plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BI}$ , ce qui est bien le cas car:
  
  $\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BG}=2\tm0+(-1)\tm1+1\tm1=0$
  
  et
  
  $\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BI}=2\tm\lp-\dfrac12\rp+(-1)\tm0+1\tm1=0$
4. Un vecteur normal au plan est donc $\overrightarrow{DJ}(2;-1;1)$ et donc ce plan a une équation cartésienne de la forme .
  De plus appartient à ce plan, d'où $2\tm1-0+0+d=0\iff d=-2$ .
  Une équation cartésienne du plan est donc bien .
On note la droite passant par et orthogonale au plan .
1. Comme la droite est orthogonale au plan et que $\overrightarrow{DJ}$ est aussi orthogonal à ce plan, on en déduit que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur directeur de . On a donc une reprsentation paramétrique, avec :
  
  $d:\la\begin{array}{ccr} x&=&1+2t\\ y&=&-t\\ z&=&1+t\enar\right. \ , t \in\R$
2. Comme est orthogonal à , leur intersection est donc un point. Il reste donc simplement à vérifier que cette intersection est le point , c'est-à-dire que $L\in d$ et $L\in(BGI)$ .
  Avec l'équation cartésienne de , $2\tm\dfrac23-\dfrac16+\dfrac56-2 =\dfrac86+\dfrac46-\dfrac{12}6=0$ et donc $L\in (BGI)$ .
  Avec la représentation prarémtrique de , on cherche $t\in\R$ tel que
  
  $d:\la\begin{array}{ccl} \frac23&=&1+2t\\[.4em] \frac16&=&-t\\[.4em] \frac56&=&1+t\enar\right. \iff t=-\dfrac16$
  
  et donc $L\in d$ .
  Finalement est le point d'intersection de et .
1. D'après tout ce qui précède, une hauteur est associée à la base .
  On peut aussi considérer la base associée à la hauteur , qui donne le volume
  
  $\begin{array}{ll}V&=\dfrac13\tm\lp\dfrac12 FI\tm FG\rp\tm FB\\[1em] &=\dfrac13\tm\lp\dfrac12\tm\dfrac12\tm1\rp\tm1 =\dfrac1{12} \enar$
2. En utilisant la hauteur et la base d'aire $\mathcal{B}$ , on a
  
  $V=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm FL$
  
  où
  
  $FL=\sqrt{\lp\dfrac23-1\rp^2+\lp\dfrac16-0\rp^2+\lp\dfrac56-1\rp^2} =\sqrt{\dfrac16} =\dfrac1{\sqrt6}$
  
  On en déduit que
  
  $V=\dfrac1{12}=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm\dfrac1{\sqrt6}$
  
  d'où l'aire du triangle .
  
  $\mathcal{B}=\dfrac{\sqrt6}4$

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Tag:Géométrie dans l'espace

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