Bac 2021 (Amérique du nord): Géométrie dans un cube

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].
\[\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(6,7) \pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE \uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E} \psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF \uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} \psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE \uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K} \psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH \psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH \uput[ur](3.5,1.8){D} \psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC \end{pspicture}\]


  1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,

    Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left( A~;~\overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\rp$.
    1. Donner les coordonnées des points I et J.
    2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{IJ},~\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires.


    On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:

    \[d_1 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&3 + t\\ y &=& 8 - 2t\\ z &=& - 2 + 3t\\ \end{array}\right. , t \in \R\quad \text{et}\quad d_2 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&4 + t\\ y &=&1 + t\\ z &=&8 + 2t\\ \end{array}\right. , t \in \R.\]


  3. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
  4. Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
  5. Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan $\mathcal P$.

Correction
Baccalauréat général, spécialité mathématique, Amérique du Nord mai 2021 (candidats libres)
\[\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(6,7) \pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE \uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E} \psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF \uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} \psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE \uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K} \psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH \psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH \uput[ur](3.5,1.8){D} \psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC \end{pspicture}\]



  1. On a A(0;0;0) et I(0,5;0;1), donc $\overrightarrow{AI}(0,5~;~0~;~1)$ et K(0;0;0,5) et H(0;1;1) donc $\overrightarrow{KH}(0~;~1~;~0,5)$.
    Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
    1. On a par lecture graphique I(0,5;0;1), et J(1;0,5;0)
    2. On a $\overrightarrow{IJ}(0,5~;~0,5~;~-1)$, $\overrightarrow{AE}(0~;~0~;~1)$, et $\overrightarrow{AC}(1~;~1~;~0)$.
      On a donc que $2\overrightarrow{IJ} + 2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC}$, ce qui montre que ces trois vecteurs sont coplanaires.

      Autre méthode 2, si on ne s'aperçoit pas de la relation suivante, on peut tous simplement la chercher: on cherche s'il existe trois réels a,b et c tels que
      \[a\overrightarrow{IJ}+b\overrightarrow{AE}+c\overrightarrow{AC}=\vec{0} \iff\la\begin{array}{rcrcrcl} 0,5a&+& &+&c &=&0\\ 0,5a&+& &+&c &=&0\\ -a&+& b&& &=&0\enar\right.\]

      dont la troisième équation donne $a=b$ puis $c=-0,5a$, et il y a une infinité de solutions, par exemple $a=b=1$ et $c=-0,5$, d'où la relation
      \[\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{AE}-0,5\overrightarrow{AC}=\vec{0} \iff \overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{AE}+0,5\overrightarrow{AC}\]


    $d_1$ a pour vecteur directeur $\vec{u_1}(1~;~-2~;~3)$ et $d_2$ a pour vecteur directeur $\vec{u_2}(1~;~1~;~2)$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles
  3. Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}_1(1;-2;3)$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u}_2(1,1,2)$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.
  4. Le plan a pour vecteur normal le vecteur $\vec{p}(1~;~3~;~-2)$ et $d_2$ a pour vecteur directeur $\vec{u_2}(1~;~1~;~2)$.
    Or $\vec{p} \cdot \vec{u_2} = 1 + 3 - 4 = 0$: les vecteurs sont orthogonaux donc la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
  5. Méthode 1. Soit $\Delta$ la perpendiculaire à $\mathcal P$ contenant M. Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{p}$, donc une équation paramétrique de $\Delta$ est :
    \[\la\begin{array}{rcl} x&=&5 + 1t\\ y&=&3 + 3t\\ z&=&1 - 2t\\ \enar\right., t \in \R.\]

    Le projeté L, de M sur le plan $\mathcal P$ a ses coordonnées qui vérifient les quatre équations:
    \[\left\{\begin{array}{rcl} x&=&5 + 1t\\ y&=&3 + 3t\\ z&=&1 - 2t\\ x + 3y - 2z + 2&=&0 \end{array}\right. , t \in \R.\]

    et donc, en substituant les expressions des coordonnées dans la dernière équation du plan, on obtient
    \[5 + t + 3(3 + 3t) - 2(1 - 2t) + 2 = 0 \iff t = - 1\]

    En reportant dans les trois premières équations du système, on trouve alors les coordonnées de L projeté orthogonal de M sur $\mathcal P$ :
    \[\la\begin{array}{lcl} x&=&5 - 1\\ y&=&3 + 3\times (- 1)\\ z&=&1 - 2\times (- 1)\\ \enar\right. \iff \la\begin{array}{l c l} x&=&4\\ y&=&0\\ z&=&3\\ \enar\right.\]


    Donc le projeté orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$ est le le point L(4 ; 0 ; 3).


    Méthode 2. On a $\overrightarrow{ML}(-1~;~- 3~;~2)$, donc $\overrightarrow{ML}=-\vec{p}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    D'autre part
    \[L(4~;~0~;~3)\in\mathcal{P}\iff 4 + 3 \times 0 - 2 \times 3 + 2 = 6 - 6 = 0\]

    est vraie, donc L est bien le projeté orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$.


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