Bac 2021 (Amérique du nord): Géométrie dans un cube
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].
![\[\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G}
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exAN21/1.png)
![\[\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G}
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exAN21/1.png)
-
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé.
-
- Donner les coordonnées des points I et J.
- Montrer que les vecteurs
et
sont coplanaires.
On considère le pland'équation
ainsi que les droites
et
définies par les représentations paramétriques ci-dessous:
- Les droites
et
sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
- Montrer que la droite
est parallèle au plan
.
- Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan
.
Correction
Baccalauréat général, spécialité mathématique, Amérique du Nord mai 2021 (candidats libres)
![\[\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G}
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exAN21_c/1.png)
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Baccalauréat général, spécialité mathématique, Amérique du Nord mai 2021 (candidats libres)
![\[\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G}
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exAN21_c/1.png)
- On a A(0;0;0) et I(0,5;0;1), donc
et K(0;0;0,5) et H(0;1;1) donc
.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
-
- On a par lecture graphique I(0,5;0;1), et J(1;0,5;0)
- On a
,
, et
.
On a donc que, ce qui montre que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Autre méthode 2, si on ne s'aperçoit pas de la relation suivante, on peut tous simplement la chercher: on cherche s'il existe trois réels a,b et c tels que
dont la troisième équation donnepuis
, et il y a une infinité de solutions, par exemple
et
, d'où la relation
a pour vecteur directeur
et
a pour vecteur directeur
: ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites
et
ne sont pas parallèles
- Un vecteur directeur de
est
et un vecteur directeur de
est
.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.
- Le plan a pour vecteur normal le vecteur
et
a pour vecteur directeur
.
Or: les vecteurs sont orthogonaux donc la droite
est parallèle au plan
.
-
Méthode 1. Soit
la perpendiculaire à
contenant M. Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur
, donc une équation paramétrique de
est :
Le projeté L, de M sur le plana ses coordonnées qui vérifient les quatre équations:
et donc, en substituant les expressions des coordonnées dans la dernière équation du plan, on obtient
En reportant dans les trois premières équations du système, on trouve alors les coordonnées de L projeté orthogonal de M sur:
Donc le projeté orthogonal de M sur le planest le le point L(4 ; 0 ; 3).
Méthode 2. On a, donc
est un vecteur normal au plan
.
D'autre part
est vraie, donc L est bien le projeté orthogonal de M sur le plan.
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Tag:Géométrie dans l'espace
Voir aussi: