Bac 2021 (15 mars - sujet 1): Logarithme et convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac3x\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.


  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
    \[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.\]


    1. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. On admettra que $\dsp\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
    2. Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac53$.
  4. Étudier la convexité de la fonction $f$ c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave.
    On justifiera que la courbe $\mathcal C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

Correction
  1. En $+\infty$, $f(x) = x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) + 4 - \dfrac{3}{x}$
    avec par croissances comparées $\dsp\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc $\dsp\lim_{x\to +\infty} x\lp1-4\dfrac{\ln(x)}{x}\right) + 4 = +\infty$
    et donc $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$
  2. $f'(x)= 1 + 0 - \dfrac{4}{x} +\dfrac{3}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4x +3}{x^2}$
    1. Le trinôme du second degré au numérateur $x^2-4x+3$ a pour discriminant $\Delta=4>0$ et admet donc deux racines distinctes $x=1$ et $x=3$ et alors
      \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{|c | l *{6}{c} |} \hline x & 0 & \hspace*{2cm} & 1 & \hspace*{2cm} & 3 & \hspace*{2cm} & +\infty \\ \hline x^2-4x+3 & &+& \vline\hspace{-2.7pt}{0} &- & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &- &\\ \hline x^2 & 0 &+ & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} &+ & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} &+ &\\ \hline f'(x) & \vline\;\vline &+& \vline\hspace{-2.7pt}{0} &- & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &+ & \\ \hline & \vline\;\vline\; & & \Rnode{max1}{2} & & & & \Rnode{max2}{+\infty} \\ f (x) &\vline\;\vline\; & & & & & &\\ &\vline\;\vline\; \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{6-4\ln(3)\approx 1,61} & & \ncline{->}{min1}{max1} \ncline{->}{max1}{min2} \ncline{->}{min2}{max2} \\ \hline \end{array}\]

      avec les valeurs particulières $f(1)=1+4-4\ln(1)-\dfrac{3}{1}=2$; $f(3) = 3+4-4\ln(3) - \dfrac{3}{3}=6-4\ln(3)\approx 1,69$
    2. D'après le tableau de variations, l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$ admet une solution dans $]0;1[$, une dans $]1;3[$ et enfin une dans $]3;+\infty[$ car $\dfrac53>f(3)\simeq1,61$
      Cette équation admet donc trois solutions dans $]0~;~+\infty[$.

  4. La convexité de $f$ est donnée par le signe de la dérivée seconde:
    \[f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}\]

    donc
    \[\begin{array}{ll}f''(x) &= \dfrac{(2x-4)\times x^2 - (x^2-4x+3)\times2x}{x^4}\\ &= \dfrac{(2x^2 -4x -2x^2 +8x -6)\times x}{x^4}\\ &=\dfrac{4x-6}{x^3}\enar\]



    \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{|c | l *{4}{c} |} \hline x & 0 & \hspace*{2cm} & \frac{3}{2} & \hspace*{2cm} & +\infty \\ \hline 4x-6 & & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + & \\ \hline x^3 &0 & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \\ \hline f''(x) &\vline\;\vline & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + & \\ \hline &\vline\;\vline & f \text{ concave} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom0} & f \text{ convexe} & \\ \hline \end{array}\]


    La dérivée seconde s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{3}{2}$ donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
    $f\left (\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{3}{2} +4 -4\ln\left (\dfrac{3}{2}\right ) -\dfrac{3}{\frac{3}{2}} = \dfrac{11}{2} -4\ln\left (\dfrac{3}{2}\right ) -2 = \dfrac{7}{2} -4\ln\left (\dfrac{3}{2}\right ) $
    La courbe $\mathcal{C}$ admet donc un unique point d'inflexion de coordonnées $\lp\dfrac32~;~\dfrac72 -4\ln\lp\dfrac32\rp\rp$.


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