Bac 2021 (15 mars - sujet 1): Logarithme et convexité
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction
définie sur l'intervalle
par :
![\[f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac3x\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2021-sujet-1-log-cvx/3.png)
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note
la représentation graphique de
dans un repère orthonormé.

![$]0~;~ +\infty[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2021-sujet-1-log-cvx/2.png)
![\[f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac3x\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2021-sujet-1-log-cvx/3.png)
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On note


- Déterminer la limite de la fonction
en
.
- On admet que la fonction
est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout nombre réel, on a :
-
- Donner le tableau de variations de la fonction
sur l'intervalle
. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de
en
et en
. On admettra que
.
- Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation
.
- Donner le tableau de variations de la fonction
- Étudier la convexité de la fonction
c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle
sur lesquelles
est convexe, et celles sur lesquelles
est concave.
On justifiera que la courbeadmet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.
Correction
Cacher la correction
- En
,
avec par croissances comparéesdonc
et donc
-
-
- Le trinôme du second degré au numérateur
a pour discriminant
et admet donc deux racines distinctes
et
et alors
avec les valeurs particulières;
- D'après le tableau de variations, l'équation
admet une solution dans
, une dans
et enfin une dans
car
Cette équation admet donc trois solutions dans.
- Le trinôme du second degré au numérateur
- La convexité de
est donnée par le signe de la dérivée seconde:
donc
La dérivée seconde s'annule et change de signe pourdonc la courbe
admet un unique point d'inflexion d'abscisse
.
La courbeadmet donc un unique point d'inflexion de coordonnées
.
Cacher la correction
Tags:LogarithmeConvexité
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