Logarithme et convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
  2. Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
  3. Montrer que, pour tout $x>0$, on a $x\ln(x)\geqslant x-1$.

Correction


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