Bac 2021 (15 mars 2021): exponentielles, distance entre deux courbes

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Le graphique suivant représente, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par:
\[f(x) = x^2e^{-x}\quad \text{ et } \quad g(x) = e^{-x}\]


\[\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-1)(2.5,9) \multido{\n=0+2}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](-2.5,\n)(2.5,\n)} \multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](\n,-1)(\n,9)} \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-1)(2.5,9) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{x dup mul 2.71828 x exp div} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{2.71828 x neg exp} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-0.6,-1)(-0.6,9) \psdots(-0.6,0.656)(-0.6,1.822) \uput[r](-0.6,0.656){\footnotesize $N$}\uput[r](-0.6,1.822){\footnotesize $M$} \uput[r](-1.4,7){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[l](-2.1,7.4){\red $\mathcal{C}_g$} \end{pspicture*} \]


    1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    2. Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  2. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, on considère les points $M$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ de coordonnées $(x~;~g(x))$, et on note $d(x)$ la distance $MN$. On admet que : $d(x)= e^{-x} - x^2e^{-x}$.
    On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$ et on note $d'$ sa fonction dérivée.
    1. Montrer que $d'(x) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2x - 1\right)$.
    2. En déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
    3. Déterminer l'abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d'obtenir une distance $d\left(x_0\right)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0,1$ près de la distance $M_0N_0$.
  3. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 2$.
    On considère la fonction $h$ dérivable sur $\R$ et définie par: $h(x) = e^{-x} - x - 2$.
    En étudiant le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $\mathcal{C}_g$.

Correction

    1. Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont les points d'abscisses $x$ solutions de l'équation $f(x)=g(x)$, soit
      \[f(x)=g(x) \iff x^2e^{-x}=e^{-x}\iff (x^2-1)e^{-x}=0\]


      Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$ donc en particulier $e^{-x}\neq 0$, et alors
      \[f(x)=g(x) \iff x^2-1=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1\]

      Pour $x=-1$, $g(x)=e$, et pour $x=1$, $g(x)=e^{-1}$.
      Les coordonnées des points d'intersection sont donc $\lp-1~;~e\rp$ et $\lp1~;~e^{-1}\rp$.
    2. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, revient à étudier le signe de la différence $\varphi$ définie par
      \[\varphi(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)e^{-x}\]

      soit
      \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1cm}} \begin{array}{|c | *7{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\\hline x^2-1 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\\hline e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\\hline (x^2-1)e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\ \hline \end{array}\]


      Donc sur les intervalles $]-\infty~;~-1[$ et $]1~;~+\infty[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$, et sur l'intervalle $]-1~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$,

    1. On a $d(x)=(1-x^2)e^{-x}$, soit $d=uv$ avec $u(x)=1-x^2$ donc $u'(x)=-2x$, et $v(x)=e^{-x}$ soit $v=e^w$ donc $v'=w'e^w$ et donc $v'(x)=-e^{-x}$. On a alors $d'=u'v+uv'$, soit
      \[\begin{array}{ll}d'(x)&=-2xe^{-x}+\lp1-x^2\rp\lp-e^{-x}\rp\\ &=e^{-x}\lp-2x-1+x^2\right) \enar\]

    2. Dans la dérivée précédente, on a $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, et le trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=(-2)^2+4=8>0$ et admet donc deux racines $x_1=\dfrac{2-\sqrt8}2=1-\sqrt2$ et $x_2=1+\sqrt2$.
      On a alors
      \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{0cm}} \begin{array}{|c | *{11}{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1-\sqrt{2} & \esp & 1 & \esp & 1+\sqrt{2} & \esp & +\infty \\\hline e^{-x} & & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &\\\hline x^2-2x-1& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline d'(x)& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline &&&&&&&&&&&\\ $d$&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,.8)(1.4,-.3)&&&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&\\ &&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}\]


      • Sur l'intervalle $\left [-1~;~1 - \sqrt{2}\right [$, $d'(x)>0$ donc $d$ est strictement croissante.
      • Sur l'intervalle $\left ]1-\sqrt{2}~;~1\right ]$, $d'(x)<0$ donc $d$ est strictement décroissante.
    3. D'après la question précédente, la distance $d(x)$ est maximale pour $x_0= 1-\sqrt{2}$, et vaut alors $d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$

  3. On étudie la fonction $h$.
    La fonction $h$ est dérivable, donc continue ssur $\R$, avec $h'(x)=-e^{-x}-1$ donc, comme $e^{-x}>0\iff-e^{-x}<0$, et donc $h'(x)=-e^{-x}-1<-1<0$ et la fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $\R$.
    • $h(-1)=e^{1}+1-2= e-1>0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)>0$ pour $x<-1$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$.
    • $h(0)=e^{0}-2 = -1 <0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)<0$ pour $x>0$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    • Sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante, et on sait que $h(-1)>0$ et $h(0)<0$; donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection, l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique.

    La droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}_g$ ont donc un unique point d'intersection dont l'abscisse est comprise entre $-1$ et $0$.


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