Bac 2022 (12 mai 2022): Trajectoire d'une balle de golf
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Partie A : études de deux fonctions
On considère les deux fonctions
et 
définies sur l'intervalle 
par:
![\[f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad \text{et}\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)e^{0,2x} - 2,2.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/4.png)
On admet que les fonctions
et 
sont dérivables et on note 
et 
leurs fonctions dérivées respectives.
Partie B : trajectoires d'une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club» de golf.
On souhaite exploiter les fonctions
et 
étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que
est la valeur qui annule la fonction 
et une approximation de la valeur qui annule la fonction 
.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de
et 
sur l'intervalle [0 ; 13,7].
![$$(-1,-1)(14,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(14,3.5)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}\uput[ur](12,2.2){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](13.7,0){13,7}
$$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/34.png)
Pour
représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec 
), 
(ou 
selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 
mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou 
selon le modèle) en son point d'abscisse 
. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est
un nombre réel 
tel que 
est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou 
selon le modèle) en son point d'abscisse 
. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel 
tel que 
est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
(-0.3,-0.3)(14,3)
\psplot[plotpoints=1000]{0}{2}{0.822 x mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$}
\psline(13.7,0)(11,2)
\psarc(0,0){0.7}{0}{40}\rput(1.2,0.5){\footnotesize $d$}
\psarc(13.7,0){0.7}{140}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$}
\uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.5)(14,3)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}
\psline(0,0)(10.4,2.8)
\psline(13.7,0)(12,2.9)
\psarc(0,0){1}{0}{20}\rput(2,0.25){\footnotesize $d$}
\psarc(13.7,0){1}{120}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$}
\uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/50.png)
Partie C : interrogation des modèles
À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:
![\[\begin{tabular}{|*4{p{4.2cm}|}}\hline
Angle de d\'ecollage en degr\'e
&Hauteur maximale en yard
&Angle d'atterrissage en degr\'e
&Distance horizontale en yard au point de chute\\ \hline
24&32&52&137\\ \hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/61.png)
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée. Partie A : études de deux fonctions
On considère les deux fonctions
et 
définies sur l'intervalle 
par:
![\[f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad \text{et}\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)e^{0,2x} - 2,2.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/65.png)
On admet que les fonctions
et 
sont dérivables et on note 
et 
leurs fonctions dérivées respectives.
Partie B : trajectoires d'une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club» de golf.
On souhaite exploiter les fonctions
et 
étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que
est la valeur qui annule la fonction 
et une approximation de la valeur qui annule la fonction 
.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de
et 
sur l'intervalle [0 ; 13,7].
![$$(-1,-1)(14,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(14,3.5)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}\uput[ur](12,2.2){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](13.7,0){13,7}
$$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/95.png)
Pour
représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec 
), 
(ou 
selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ 
mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou 
selon le modèle) en son point d'abscisse 
. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est
un nombre réel 
tel que 
est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou 
selon le modèle) en son point d'abscisse 
. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel 
tel que 
est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
(-0.3,-0.3)(14,3)
\psplot[plotpoints=1000]{0}{2}{0.822 x mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$}
\psline(13.7,0)(11,2)
\psarc(0,0){0.7}{0}{40}\rput(1.2,0.5){\footnotesize $d$}
\psarc(13.7,0){0.7}{140}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$}
\uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.5)(14,3)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}
\psline(0,0)(10.4,2.8)
\psline(13.7,0)(12,2.9)
\psarc(0,0){1}{0}{20}\rput(2,0.25){\footnotesize $d$}
\psarc(13.7,0){1}{120}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$}
\uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/111.png)
Partie C : interrogation des modèles
À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:
![\[\begin{tabular}{|*4{p{4.2cm}|}}\hline
Angle de d\'ecollage en degr\'e
&Hauteur maximale en yard
&Angle d'atterrissage en degr\'e
&Distance horizontale en yard au point de chute\\ \hline
24&32&52&137\\ \hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/122.png)
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
Correction
On considère les deux fonctions
et définies sur l'intervalle par:
On admet que les fonctions
et sont dérivables et on note et leurs fonctions dérivées respectives.
- On donne le tableau de variations complet de la fonction
sur l'intervalle 
.
{$x$} \uput[u](1.6,1.4){$0$} \uput[u](4,1.4){$6,85$} \uput[u](6,1.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.65,0){$0$}\uput[d](4,1.5){$f(6,85)$}\uput[u](6,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.9,0.4)(3.2,1.1)\psline{->}(4.8,1.1)(5.7,0.4)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/11.png)
- Justifier la limite de
en 
.
- Justifier les variations de la fonction
.
- Résoudre l'équation
.
- Justifier la limite de
-
- Déterminer la limite de
en 
.
- Démontrer que, pour tout réel
appartenant à 
on a : 
.
- Étudier les variations de la fonction
et dresser son tableau de variations sur 
.
Préciser une valeur approchée à
près du maximum de 
.
- Montrer que l'équation
admet une unique solution non nulle et déterminer, à 
près, une valeur approchée de cette solution.
- Déterminer la limite de
Partie B : trajectoires d'une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club» de golf.
On souhaite exploiter les fonctions
et étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que
est la valeur qui annule la fonction et une approximation de la valeur qui annule la fonction .
On donne ci-dessous les représentations graphiques de
et sur l'intervalle [0 ; 13,7].
Pour
représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec ), (ou selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou selon le modèle) en son point d'abscisse . Une mesure de l'angle de décollage de la balle est
un nombre réel tel que est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou selon le modèle) en son point d'abscisse . Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel tel que est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
- Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards,
représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et 
la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :- Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
- Vérifier que
.
- Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
- Quelle propriété graphique de la courbe
permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
- Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards,
représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et 
la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
- Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que
et 
.
- Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
- Justifier que
est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.
Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :
![\[%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\begin{tabular}{|c|p{2em}|*{12}{c|}}
\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
1&$\!\!\tan(\theta)$&0,815&0,816&0,817&0,818&0,819&0,82&0,821&0,822&0,823&0,824&0,825&0,826\\ \hline
2&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&39,18&39,21&39,25&39,28&39,32&39,35&39,39&39,42&39,45&39,49&39,52&39,56\\ \hline
3& &&&&&&&&&&&&\\ \hline
4&$\!\!\tan(\theta)$&0,285& 0,286& 0,287& 0,288& 0,289&0,29&0,291&0,292&
0,293&0,294&0,295 &0,296\\ \hline
5&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&15,91 &15,96&16,01& 16,07& 16,12& 16,17& 16,23& 16,28& 16,33& 16,38& 16,44& 16,49\\ \hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/60.png)
- Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que
Partie C : interrogation des modèles
À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée. Partie A : études de deux fonctions
On considère les deux fonctions
et définies sur l'intervalle par:
On admet que les fonctions
et sont dérivables et on note et leurs fonctions dérivées respectives.
- On donne le tableau de variations complet de la fonction
sur l'intervalle 
.
{$x$} \uput[u](1.6,1.4){$0$} \uput[u](4,1.4){$6,85$} \uput[u](6,1.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.65,0){$0$}\uput[d](4,1.5){$f(6,85)$}\uput[u](6,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.9,0.4)(3.2,1.1)\psline{->}(4.8,1.1)(5.7,0.4)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/72.png)
- Justifier la limite de
en 
.
- Justifier les variations de la fonction
.
- Résoudre l'équation
.
- Justifier la limite de
-
- Déterminer la limite de
en 
.
- Démontrer que, pour tout réel
appartenant à 
on a : 
.
- Étudier les variations de la fonction
et dresser son tableau de variations sur 
.
Préciser une valeur approchée à
près du maximum de 
.
- Montrer que l'équation
admet une unique solution non nulle et déterminer, à 
près, une valeur approchée de cette solution.
- Déterminer la limite de
Partie B : trajectoires d'une balle de golf
Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club» de golf.
On souhaite exploiter les fonctions
et étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que
est la valeur qui annule la fonction et une approximation de la valeur qui annule la fonction .
On donne ci-dessous les représentations graphiques de
et sur l'intervalle [0 ; 13,7].
Pour
représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec ), (ou selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ mètre).
On appelle « angle de décollage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou selon le modèle) en son point d'abscisse . Une mesure de l'angle de décollage de la balle est
un nombre réel tel que est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage » de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe (
ou selon le modèle) en son point d'abscisse . Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel tel que est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.
- Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards,
représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et 
la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :- Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
- Vérifier que
.
- Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
- Quelle propriété graphique de la courbe
permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
- Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards,
représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et 
la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
- Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que
et 
.
- Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
- Justifier que
est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.
Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :
![\[%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\begin{tabular}{|c|p{2em}|*{12}{c|}}
\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
1&$\!\!\tan(\theta)$&0,815&0,816&0,817&0,818&0,819&0,82&0,821&0,822&0,823&0,824&0,825&0,826\\ \hline
2&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&39,18&39,21&39,25&39,28&39,32&39,35&39,39&39,42&39,45&39,49&39,52&39,56\\ \hline
3& &&&&&&&&&&&&\\ \hline
4&$\!\!\tan(\theta)$&0,285& 0,286& 0,287& 0,288& 0,289&0,29&0,291&0,292&
0,293&0,294&0,295 &0,296\\ \hline
5&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&15,91 &15,96&16,01& 16,07& 16,12& 16,17& 16,23& 16,28& 16,33& 16,38& 16,44& 16,49\\ \hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex12052022/121.png)
- Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que
Partie C : interrogation des modèles
À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:
Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
Correction
Tag:Exponentielle
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