Bac 2017 (Antilles-Guyane): exponentielles et tangentes perpendiculaires

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=e^x$ et $g(x)=e^{-x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de $g$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $a$.
La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$,
  1. Faire une figure représentant la situation. Que vaut la longueur $PQ$ sur cette figure ?
  2. Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$.
  3. Démontrer que, indépendamment de la valeur du réel $a$, on a $PQ=2$.

Correction
D'après Bac Antilles Guyane 2017

  1. \[\psset{unit=2.6cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-3.2,-1.5)(3.2,3.5) \psline{->}(-3.3,0)(3.5,0) \psline{->}(0,-1.3)(0,3.4) \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(\i,-.05)(\i,.05)\rput(\i,-.2){$\i$}} \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(-.05,\i)(.05,\i)\rput[r](-.05,\i){$\i$}} \psplot[linewidth=1.6pt]{-5}{3}{2.718 x exp} \psplot[linewidth=1.6pt]{-3}{5}{2.718 -1 x mul exp} \psline[linestyle=dashed](.5,0)(!.5\space 2.718 .5 exp) \rput(.5,-.2){$x$} \rput(.65,.7){$N$}\rput(.65,1.6){$M$} \psplot{-3}{3}{2.718 .5 exp x .5 add mul} \psplot{-3}{3}{2.718 -.5 exp -1 mul x 1.5 sub mul} \rput(-.45,-.2){$P$} \rput(1.5,-.2){$Q$} \end{pspicture*}\]

  2. La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ a pour équation
    \[\begin{array}{ll}y&=f'(a)(x-a)+f(a)=e^a(x-a)+e^a\\[.4em] &=e^ax+e^a(1-a)\enar\]

    Une équation cartésienne de cette droite est $e^ax-y+e^a(1-a)=0$, et donc $\vec{u}\left( e^a;-1\rp$ est un vecteur normal à cette droite.

    De même, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ a pour équation
    \[\begin{array}{ll}y&=g'(a)(x-a)+g(a)=-e^{-a}(x-a)+e^{-a}\\[.4em] &=-e^{-a}x+e^{-a}(1+a)\enar\]

    Une équation cartésienne de cette droite est $e^{-a}x+y-e^{-a}(1+a)=0$ et donc $\vec{v}\left( e^{-a};1\rp$ est un vecteur normal à cette droite.

    On a $\vec{u}\cdot\vec{v}=e^ae^{-a}-1=1-1=0$, ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux, comme ces deux tangentes, qui sont donc perpendiculaires.
  3. On détermine les abscisses des points $P$ et $Q$, qui sont à l'intersection des deux tangentes et de l'axe des abscisses.
    On a donc, pour le point $Q$, $y=0=-e^{-a}x+e^{-a}(1+a)\iff x=1+a$.
    De même, pour le point $P$, $y=0=e^ax+e^a(1-a)\iff x=-1+a$.
    On en déduit donc que $PQ=1+a-(-1+a)=2$ et ne dépend donc pas de l'abscisse $a$ des points $M$ et $N$.


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