Bac 2017 (Antilles-Guyane): exponentielles et tangentes perpendiculaires
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Soit
et
les fonctions définies sur
par
et
.
On note
la courbe représentative de
et
celle de
dans un repère orthonormé du plan.
Pour tout réel
, on note
le point de
d'abscisse
et
le point de
d'abscisse
.
La tangente en
à
coupe l'axe des abscisses en
,
la tangente en
à
coupe l'axe des abscisses en
,
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/1.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/2.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/3.png)
![$f(x)=e^x$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/4.png)
![$g(x)=e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/5.png)
On note
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/6.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/7.png)
![$\mathcal{C}_g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/8.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/9.png)
Pour tout réel
![$a$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/10.png)
![$M$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/11.png)
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/12.png)
![$a$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/13.png)
![$N$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/14.png)
![$\mathcal{C}_g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/15.png)
![$a$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/16.png)
La tangente en
![$M$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/17.png)
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/18.png)
![$P$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/19.png)
![$N$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/20.png)
![$\mathcal{C}_g$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/21.png)
![$Q$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex-exp-tgt/22.png)
- Faire une figure représentant la situation.
Que vaut la longueur
sur cette figure ?
- Démontrer que la tangente en
à
est perpendiculaire à la tangente en
à
.
- Démontrer que, indépendamment de la valeur du réel
, on a
.
Correction
D'après Bac Antilles Guyane 2017
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D'après Bac Antilles Guyane 2017
-
-
La tangente en
à
a pour équation
Une équation cartésienne de cette droite est, et donc
est un vecteur normal à cette droite.
De même, la tangente enà
a pour équation
Une équation cartésienne de cette droite estet donc
est un vecteur normal à cette droite.
On a, ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux, comme ces deux tangentes, qui sont donc perpendiculaires.
- On détermine les abscisses des points
et
, qui sont à l'intersection des deux tangentes et de l'axe des abscisses.
On a donc, pour le point,
.
De même, pour le point,
.
On en déduit donc queet ne dépend donc pas de l'abscisse
des points
et
.
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Tag:Exponentielle
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