Bac 2017 (Antilles-Guyane): exponentielles et tangentes perpendiculaires

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=e^x$ et $g(x)=e^{-x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de $g$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $a$.
La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$,
  1. Faire une figure représentant la situation. Que vaut la longueur $PQ$ sur cette figure ?
  2. Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$.
  3. Démontrer que, indépendamment de la valeur du réel $a$, on a $PQ=2$.

Correction


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