Bac 2014 (Métropole, Septembre) - Exponentielle et intégrales

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp, une courbe $\mathcal{C} et la droite $(AB) où $A et $B sont les points de coordonnées respectives $(0~;~1) et $(-1~;~3).
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-3,-2.2)(3,3.5) \psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2.2)(0,3.8) \rput(0,1){$\tm$}\rput(-1,3){$\tm$} \uput[ur](0,1){$A$}\uput[l](-1,3){$B$} \uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$} \uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3} \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$} \uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub} \psplot{-1.4}{1.5}{1 x 2 mul sub} \end{pspicture}

On désigne par $f la fonction dérivable sur $\R dont la courbe représentative est $\mathcal{C}.
On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a tel que pour tout réel $x,
f(x) = x + 1 + axe^{- x^2}.

    1. Justifier que la courbe $\mathcal{C} passe par le point $A.
    2. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB).
    3. Démontrer que pour tout réel $x,
      f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.

    4. On suppose que la droite $(AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C} au point $A.
      Déterminer la valeur du réel $a.
  2. D'après la question précédente, pour tout réel $x,
    f(x) = x + 1 - 3xe^{- x^2} \quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.

    1. Démontrer que pour tout réel $x de l'intervalle $]- 1~;~0], $f(x) > 0.
    2. Démontrer que pour tout réel $x inférieur ou égal à $- 1, $f'(x) > 0.
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel $c de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right] tel que $f(c) = 0. Justifier que $c<-\dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}.
  3. On désigne par $\mathcal{A} l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par:
    c \leqslant x \leqslant 0 \quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).

    1. Écrire $\mathcal{A} sous la forme d'une intégrale.
    2. On admet que l'intégrale $I = \dsp\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\,dx est une valeur approchée de $\mathcal{A} à $10^{-3} près.
      Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I.

Correction


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