Bac 2014 (Métropole, Septembre) - Exponentielle et intégrales
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé
, une courbe
et la droite
où
et
sont les points de coordonnées respectives
et
.
On désigne par
la fonction dérivable sur
dont la courbe
représentative est
.
On suppose, de plus, qu'il existe un réel
tel que pour tout réel
,
Correction
![$\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/1.png)
![$\mathcal{C}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/2.png)
![$(AB)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/3.png)
![$A](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/4.png)
![$B](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/5.png)
![$(0~;~1)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/6.png)
![$(-1~;~3)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/7.png)
![\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3,-2.2)(3,3.5)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2.2)(0,3.8)
\rput(0,1){$\tm$}\rput(-1,3){$\tm$}
\uput[ur](0,1){$A$}\uput[l](-1,3){$B$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}
\uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub}
\psplot{-1.4}{1.5}{1 x 2 mul sub}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/8.png)
On désigne par
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/9.png)
![$\R](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/10.png)
![$\mathcal{C}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/11.png)
On suppose, de plus, qu'il existe un réel
![$a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/12.png)
![$x](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/13.png)
![f(x) = x + 1 + axe^{- x^2}.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2014-Septembre-Metropole/14.png)
-
- Justifier que la courbe
passe par le point
.
- Déterminer le coefficient directeur de la droite
.
- Démontrer que pour tout réel
,
- On suppose que la droite
est tangente à la courbe
au point
.
Déterminer la valeur du réel.
- Justifier que la courbe
- D'après la question précédente, pour tout réel
,
- Démontrer que pour tout réel
de l'intervalle
,
.
- Démontrer que pour tout réel
inférieur ou égal à
,
.
- Démontrer qu'il existe un unique réel
de l'intervalle
tel que
. Justifier que
.
- Démontrer que pour tout réel
- On désigne par
l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par:
- Écrire
sous la forme d'une intégrale.
- On admet que l'intégrale
est une valeur approchée de
à
près.
Calculer la valeur exacte de l'intégrale.
- Écrire
Correction
Tags:ExponentielleFonctionsIntégrales
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