Bac 2014 (Métropole, Septembre) - Exponentielle et intégrales

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $$\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$ , une courbe $$\mathcal{C}$ et la droite

où

sont les points de coordonnées respectives

$\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-3,-2.2)(3,3.5) \psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2.2)(0,3.8) \rput(0,1){$\tm$}\rput(-1,3){$\tm$} \uput[ur](0,1){$A$}\uput[l](-1,3){$B$} \uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$} \uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3} \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$} \uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub} \psplot{-1.4}{1.5}{1 x 2 mul sub} \end{pspicture}$

On désigne par

la fonction dérivable sur $$\R$ dont la courbe représentative est $$\mathcal{C}$ .
On suppose, de plus, qu'il existe un réel

tel que pour tout réel

$f(x) = x + 1 + axe^{- x^2}.$

1. Justifier que la courbe $$\mathcal{C}$ passe par le point .
2. Déterminer le coefficient directeur de la droite .
3. Démontrer que pour tout réel ,
  
  $f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.$
4. On suppose que la droite est tangente à la courbe $$\mathcal{C}$ au point .
  Déterminer la valeur du réel .
D'après la question précédente, pour tout réel ,

$f(x) = x + 1 - 3xe^{- x^2} \quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.$
1. Démontrer que pour tout réel de l'intervalle , .
2. Démontrer que pour tout réel inférieur ou égal à , .
3. Démontrer qu'il existe un unique réel de l'intervalle $$\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que . Justifier que $$c<-\dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$ .
On désigne par l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par:

$c \leqslant x \leqslant 0 \quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).$
1. Écrire $$\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
2. On admet que l'intégrale $$I = \dsp\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\,dx$ est une valeur approchée de $$\mathcal{A}$ à $$10^{-3}$ près.
  Calculer la valeur exacte de l'intégrale .

Correction
Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points

1. On a ce qui montre que le point de coordonnées , c'est-à-dire , appartient à $$\mathcal{C}$ .
2. Le coefficient directeur de la droite est $$\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \dfrac{3-1}{-1-0}=-2$ .
3. est de la forme , avec donc et $$v(x)=e^{-x^2}=e^{w(x)}$ donc $$v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-2xe^{-x^2}$ .
  Ainsi, $$f'(x)=1+a\left( u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\right) =1+a\left( e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}\right) =1-a\lp2x^2-1\right) e^{-x^2}$ .
4. Si la droite est tangente à la courbe $$\mathcal{C}$ au point d'abscisse , alors le coefficient directeur de est . Ainsi, $$1 - a\left (0-1\right )e^0 = -2 \iff 1+a=-2 \iff a=-3$
On a donc, avec , .
1. Pour tout réel $$x\in]-1;0]$ , $$e^{-x^2}>0$ et $$-3x\geqslant 0$ , donc $$-3xe^{-x^2}\geqslant 0$ .
  Pour tout $$x\in]-1;0]$ , , donc , alors, par addition, $$f(x)=x+1+\left( -3xe^{-x^2}\rp>0$ .
2. Pour $$x\leqslant -1$ , $$x^2\geqslant 1$ , donc, $$2x^2\geqslant 2$ et $$2x^2-1\geqslant 1>0$ . Ainsi, $$3\left( 2x^2-1\right) e^{-x^2}>0$ et alors $$f'(x)=1+3\left( 2x^2-1\right) e^{-x^2}>1>0$ .
3. Sur $$] -\infty\,;\,-1]$ , est dérivable donc continue, avec donc la fonction est strictement croissante sur cet intervalle donc aussi sur l'intervalle $$\left[ -\dfrac{3}{2}\,;\, -1\rb$ .
  Or $$f\left (-\dfrac{3}{2}\right ) \approx -0,026<0$ et $$f(-1)\approx 1,10>0$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation admet une solution unique dans l'intervalle $$\lb-\dfrac{3}{2}\,;\, -1\rb$ .
  Or $$f\lp- \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}\right) \approx 0,017>0$ donc $$c\in\lb-\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}\right[$ et donc $$c < -\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}$ .
1. Comme $$f(x)\geqslant 0$ sur , alors $$\mathcal A = \dsp\int_c^0 f(x) dx$ .
2. La fonction $$x \mapsto x+1$ a pour primitive la fonction $$x \mapsto \dfrac{x^2}{2}+x$ .
  La fonction $$x \mapsto -2xe^{-x^2}$ (forme $$u'e^{u}$ ) a pour primitive la fonction $$x \mapsto e^{-x^2}$ donc la fonction $$x \mapsto -3xe^{-x^2}$ a pour primitive la fonction $$x\mapsto\dfrac{3}{2}\,e^{-x^2}$ .
  La fonction a donc pour primitive la fonction définie par $$F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x+\dfrac{3}{2}e^{-x^2}$ .
  On a alors $$I= F(0) - F\lp-\dfrac{3}{2}\right) =\dfrac{3}{2}-\lp\dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}e^{-\frac{9}{4}}\right) =\dfrac{15}{8}-\dfrac{3}{2}e^{-\frac{9}{4}}$

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Tags:Exponentielle Fonctions Intégrales

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