Bac 2013 (Amérique du nord) - suite récurrente, algorithme, suite logarithmique intermédiaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $\left( u_n\rp définie par $u_0=1 et, pour tout entier naturel $n,
 u_{n+1} = \sqrt{2u_n}.


  1. On considère l'algorithme suivant:

    
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un r\'eel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter \`a $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 \`a $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}

    1. Donner une valeur approchée à $10^{-4} près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n=3.
    2. Que permet de calculer cet algorithme ?
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n.
      
\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affich\'ee	&1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline
\end{tabular}

      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right) ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right).
    3. Démontrer que la suite $\left( u_n\rp est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  2. On considère la suite $\left( v_n\rp définie, pour tout entier naturel $n, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2.
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2} et de premier terme $v_0=-\ln 2.
    2. Déterminer, pour tout entier naturel $n, l'expression de $v_{n} en fonction de $n, puis de $u_{n} en fonction de $n.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left( u_n\rp.
    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n telle que $u_n>1,999.
      
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables:&$n$ est un entier naturel\\
& $u$ est un r\'eel\\
Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\
&Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ 
Traitement:&\\
&\\ 
Sortie:&\\ \hline
\end{tabular}



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