Bac 2013 (Amérique du nord) - suite récurrente, algorithme, suite logarithmique intermédiaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1} = \sqrt{2u_n}.$

On considère l'algorithme suivant:

$\begin{tabular}{|ll|}\hline Variables :&$n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un r\'eel positif\\ Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement :&Pour $i$ variant de 1 \`a $n$ :\\ &\hspace{0.3cm}| Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Fin de Pour\\ Sortie :& Afficher $u$\\ \hline \end{tabular}$
1. Donner une valeur approchée à $$10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit .
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de .
  
  $\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline $n$ & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline Valeur affich\'ee &1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline \end{tabular}$
  
  Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $$\left(u_{n}\right)$ ?
1. Démontrer que, pour tout entier naturel $$n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$ .
2. Déterminer le sens de variation de la suite $$\left(u_{n}\right)$ .
3. Démontrer que la suite $$\left( u_n\rp$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .
1. Démontrer que la suite $$\left( v_n\rp$ est la suite géométrique de raison $$\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $$v_0=-\ln 2$ .
2. Déterminer, pour tout entier naturel , l'expression de $$v_{n}$ en fonction de , puis de $$u_{n}$ en fonction de .
3. Déterminer la limite de la suite $$\left( u_n\rp$ .
4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de telle que .
  
  $\begin{tabular}{|l l|}\hline Variables:&$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un r\'eel\\ Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement:&\\ &\\ Sortie:&\\ \hline \end{tabular}$

Correction
Amérique du Nord, 2013
On considère la suite $$\left( u_n\rp$ définie par

et, pour tout entier naturel

$u_{n+1}=\sqrt{2u_n}.$

1. Pour , la variable de la boucle varie de 1 à 3:
  - Pour , on affecte à la valeur $$\sqrt{2u}=\sqrt{2}\simeq 1,4142$
  - Pour , on affecte à la valeur $$\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\times 1,4142}\simeq 1,6818$
  - Pour , on affecte à la valeur $$\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\times 1,6818}\simeq 1,8340$
  L'algorithme affiche finalement la dernière valeur de trouvée: .
2. Cet algorithme permet de calculer et d'afficher le terme de rang de la suite $$\left( u_n\rp$ .
3. D'après ce tableau des valeurs approchées, on peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers 2.
1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel , $$0<u_n\leqslant 2$ . Initialisation: Pour , , donc on a bien $$0<u_n\leqslant2$ . Hérédité: Supposons que pour un entier naturel on ait $$0<u_n\leqslant2$ , alors,
  en multiplinat ces inégalités par , $$0<2u_n\leqslant 4$ ,
  puis, comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $$\R_+$ , on a $$0=\sqrt{0}<\sqrt{2u_n}\leqslant \sqrt{4}=2$ .
  Ainsi, comme $$\sqrt{2u_n}=u_{n+1}$ , on a donc bien encore, au rang , $$0<u_{n+1}\leqslant2$ .
  Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , $$0<u_n\leqslant2$ .
2. Pour déterminer le sens de variation de la suite, on peut procéder de (au moins) deux façons:
  1ère méthode: par récurrence.
  Initialisation: et $$u_1=\sqrt{2}\simeq 1,41<u_0$ . On a donc initialement, pour , $$u_{n+1}<u_n$ .
  Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait $$u_{n+1}<u_n$ , alors,
  en multipliant par , $$2u_{n+1}<2u_n$ ,
  puis, comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $$\R_+$ et que, d'après la question précédente, pour tout , on a donc $$\sqrt{2u_{n+1}}<\sqrt{2u_n}$ ,
  soit $$u_{n+2}<u_{n+1}$ , et la propriété $$u_{n+1}<u_n$ est encore vraie au rang suivant.
  Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier , $$u_{n+1}<u_n$ , c'est-à-dire que la suite $$\left( u_n\rp$ est strictement croissante.
  
  2ème méthode: démonstration directe.
  Pour $$n\in\N$ , on a $$u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n$ , soit, en utilisant la quantité conjuguée:
  
  $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n =\dfrac{2u_n-u_n^2}{\sqrt{2u_n}+u_n} =\dfrac{u_n\left( 2-u_n\rp}{\sqrt{2u_n}+u_n}$
  
  Or, d'après la question précédente, $$0<u_n\leqslant 2$ , et donc, $$2-u_n\geqslant0$ , et $$\sqrt{u_n}+u_n>0$ .
  On a donc $$u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ , et la suite $$\left( u_n\rp$ est donc croissante.
3. On vient de prouver la suite $$\left( u_n\rp$ est strictement croissante et est majorée par 2, on en déduit qu'elle converge vers une limite réelle .
1. Pour tout entier naturel , $$v_n=\ln u_n-\ln2=$ , donc,
  
  $v_{n+1} = \ln u_{n+1}-\ln2=\ln\lp\sqrt{2u_{n}}\rp-\ln2 =\dfrac12\ln\left( 2u_n\rp-\ln2 =\dfrac12\left( \ln2+\ln u_n\rp-\ln2 =\dfrac12\lp\ln u_n-\ln2\rp=\dfrac12 v_n$
  
  Ainsi, $$\left( v_n\rp$ est la suite géométrique de raison $$\dfrac12$ et de 1er terme $$v_0=\ln u_0-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2$ .
2. On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel , $$v_n=-\ln 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ , puis que $$v_n=\ln u_n-\ln2\iff \ln u_n=v_n+\ln2\iff u_n=e^{v_n+\ln2}=e^{v_n}e^{\ln2}=2e^{v_n}$ .
3. Comme $$0<\dfrac12<1$ , $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{\lp\dfrac12\rp^n}=0$ et donc $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{\left( v_n\rp}=0$ .
  Comme $$\dsp\lim_{x\to0}{e^x}=1$ , par composition des limites on obtient: $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{e^{v_n}}=1$ et finalement: $$\dsp\lim_{n\to+\infty}{u_n}=2$ .
4. $\begin{tabular}{|l l|}\hline Variables: &$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un r\'eel\\ Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement:&Tant que $u\leqslant 1,999$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Affecter \`a $n$ la valeur $n+1$\\ Sortie:&Afficher $n$\\ \hline \end{tabular}$

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