Bac 2012 (Centres étrangers) - Résolution d'une équation avec exponentielle
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)
On considère l'équation (E) d'inconnue réelle : .
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction définie sur par telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
On considère l'équation (E) d'inconnue réelle : .
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction définie sur par telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
-
- Étudier selon les valeurs de , le signe de .
- En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle .
- Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
- On considère la fonction , définie pour tout nombre réel de par :
Montrer que, sur , l'équation (E) équivaut à .
-
- Etudier les limites de en , et .
- Montrer que, pour tout réel appartenant à , on a:
- Déterminer les variations de la fonction .
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
- Conclure quant à la conjecture de la partie A.
Correction
(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)
Partie A: Conjecture. Les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir 2. L'une comprise entre et , l'autre entre 0 et 1.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
Cacher la correction
(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)
Partie A: Conjecture. Les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir 2. L'une comprise entre et , l'autre entre 0 et 1.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
-
- ,
avec et , ainis
- On a donc, pour tout , .
Or, pour tout réel, et donc il ne peut pas y avoir de
solution à (E)
- et . Donc n'est pas solution de (E).
- ,
avec et , ainis
-
-
- En : ,
et, par composition,
,
et alors, par additions,
.
En : par composition, , et .
Ainsi, par addition, .
En : On a, pour tout , .
De plus, par croissances comparées, , et donc aussi
,
On a alors, par addition et produit, .
- est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc est bien dérivable sur .
Plus précisément, pour tout réel on a ,
avec , donc , et , donc , et ainsi,
- Le numérateur de est un trinôme du second degré qui a
pour discriminant et qui admet donc deux racines et .
Le dénominateur est aussi un trinôme du second degré dont les racines sont mises en évidence: et .
-
- Sur l'intervalle , est un maximum pour .
Or donc l'équation n'a pas de solution sur .
C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.
- Sur l'intervalle la fonction est
dérivable, donc continue, strictement croissante, et est compris entre
et , d'après le théorème
de la bijection, l'équation admet une unique solution
sur .
La calculatrice donne: et , et donc . On trouve de même que Une valeur approchée de , arrondie au centième est donc .
- De même sur , où est continue et strictement décroissante, on aune unique solution , avec, à l'aide de la calculatrice,
- Sur l'intervalle , est un maximum pour .
Or donc l'équation n'a pas de solution sur .
C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.
- La conjecture émise à la partie A était fausse: il y a bien deux solutions mais pas là où on les pensait.
- En : ,
et, par composition,
,
et alors, par additions,
.
Cacher la correction
Tag:Exponentielle
Voir aussi: