Bac 2012 (Centres étrangers) - Résolution d'une équation avec exponentielle
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)
On considère l'équation (E) d'inconnue
réelle :
.
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction
définie sur
par
telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
![\[
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
\end{pspicture*}
\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex112.CE/6.png)
À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
On considère l'équation (E) d'inconnue


Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction



![\[
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
\end{pspicture*}
\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex112.CE/6.png)
À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
-
- Étudier selon les valeurs de
, le signe de
.
- En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle
.
- Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
- Étudier selon les valeurs de
- On considère la fonction
, définie pour tout nombre réel de
par :
Montrer que, sur, l'équation (E) équivaut à
.
-
- Etudier les limites de
en
,
et
.
- Montrer que, pour tout réel
appartenant à
, on a:
- Déterminer les variations de la fonction
.
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation
et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
- Conclure quant à la conjecture de la partie A.
- Etudier les limites de
Correction
(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)
Partie A: Conjecture. Les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir 2. L'une comprise entre
et
, l'autre entre 0 et 1.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
Cacher la correction
(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)
Partie A: Conjecture. Les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir 2. L'une comprise entre


Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
-
-
, avec
et
, ainis
- On a donc, pour tout
,
. Or,
pour tout
réel, et donc il ne peut pas y avoir de solution
à (E)
-
et
. Donc
n'est pas solution de (E).
-
-
-
- En
:
, et, par composition,
, et alors, par additions,
.
En: par composition,
, et
.
Ainsi, par addition,.
En: On a, pour tout
,
.
De plus, par croissances comparées,, et donc aussi
,
On a alors, par addition et produit,.
-
est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc
est bien dérivable sur
.
Plus précisément, pour tout réelon a
,
avec, donc
, et
, donc
, et ainsi,
- Le numérateur de
est un trinôme du second degré qui a pour discriminant
et qui admet donc deux racines
et
.
Le dénominateur est aussi un trinôme du second degré dont les racines sont mises en évidence:et
.
-
- Sur l'intervalle
,
est un maximum pour
. Or
donc l'équation
n'a pas de solution sur
. C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.
- Sur l'intervalle
la fonction
est dérivable, donc continue, strictement croissante, et
est compris entre
et
, d'après le théorème de la bijection, l'équation
admet une unique solution
sur
.
La calculatrice donne:et
, et donc
. On trouve de même que
Une valeur approchée de
, arrondie au centième est donc
.
- De même sur
, où
est continue et strictement décroissante, on aune unique solution
, avec, à l'aide de la calculatrice,
- Sur l'intervalle
- La conjecture émise à la partie A était fausse: il y a bien deux solutions mais pas là où on les pensait.
- En
Cacher la correction
Tag:Exponentielle
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