Bac 2011 (Amérique du nord) - Étude de fonctions avec exponentielle, position relative, suite récurrente
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Partie A
On considère la fonction définie sur par .
Partie B
On considère la fonction définie sur par .
La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
On admet que est strictement croissante sur .
Partie C
On considère la suite définie par: .
Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
On considère la fonction définie sur par .
- Etudier les variations de la fonction .
- Déterminer le signe de suivant les valeurs de .
- En déduire que pour tout de , .
Partie B
On considère la fonction définie sur par .
La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
On admet que est strictement croissante sur .
- Montrer que pour tout de , .
- Soit la droite d'équation .
- Montrer que pour tout de , .
- Etudier la position relative de la droite et de la courbe sur .
-
- Déterminer une primitive de sur .
- Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite et les droites d'équations et .
Partie C
On considère la suite définie par: .
- Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
- Montrer que pour tout entier , .
- En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Correction
Partie A On considère la fonction définie sur par .
Partie B
Partie C
Cacher la correction
Partie A On considère la fonction définie sur par .
- est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction
affine et est donc dérivable sur , donc sur ,
avec, .
De plus, la fonction exponentielle est strictement croissante sur , lorsque , on a , et donc .
On a , car Ainsi, on a le tableau de variation:
- Comme est strictement croissante sur et que , on en déduit que pour tout , .
- On a donc pour tout , , et ainsi, .
Partie B
- Comme est strictement croissante sur ,
on a .
Or et , et on a donc bien ainsi .
- Soit la droite d'équation .
- Pour tout de ,
.
Or .
On a donc ainsi bien, pour tout , .
- On a vue que, pour tout , donc aussi tout
, et .
Ainsi, est du même signe que , et donc est positif sur : la courbe est au dessus de la droite sur , et se coupant en (car ) et en .
- Pour tout de ,
.
-
- est de la forme , avec .
Comme, pour , , d'après la partie A, une primitiver de est donc , soit . - L'aire du domaine est:
- est de la forme , avec .
Partie C
-
- Montrons par récurrence que pour tout entier ,
.
Initialisation: Pour , on a et , et donc on a bien .
Hérédité: Supposons que pour un certain entier , on ait , alors, comme la fonction est strictement croissante sur , on a donc ,
soit aussi, comme , , et et ,
,
ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang .
Conclusion: On vient donc de démontrer d'après le principe de récurrence que pour tout entier , .
- D'après le résultat précédent, la suite est
croissante et majorée par 1, elle est donc convergente vers une
limite .
Comme la fonction est continue sur (car elle y est même dérivable), on a alors
La limite est donc une solution de l'équation (c'est aussi le théorème du point fixe), et il s'agit donc de l'abscisse d'un point d'intersection de et , soit ou d'après la question 2.b) de la partie B.
Or, d'après la question précédente, pour tout entier , , et donc est minorée par et ne peut pas converger vers .
Ainsi , et la suite converge donc vers 1.
Cacher la correction
Tags:ExponentielleSuites
Voir aussi: