Bac 2011 (Amérique du nord) - Étude de fonctions avec exponentielle, position relative, suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Partie A

On considère la fonction $g définie sur $[0;+\infty[ par $g(x)=e^x-x-1.
  1. Etudier les variations de la fonction $g.
  2. Déterminer le signe de $g(x) suivant les valeurs de $x.
  3. En déduire que pour tout $x de $[0;+\infty[, $e^x-x>0.


Partie B

On considère la fonction $f définie sur $[0;1] par $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}.
La courbe $(C) représentative de la fonction $f dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
On admet que $f est strictement croissante sur $[0;1].
  1. Montrer que pour tout $x de $[0;1], $f(x)\in[0;1].
  2. Soit $(D) la droite d'équation $y=x.
    1. Montrer que pour tout $x de $[0;1], $f(x)-x=\dfrac{(1-x)g(x)}{e^x-x}.
    2. Etudier la position relative de la droite $(D) et de la courbe $(C) sur $[0;1].
    1. Déterminer une primitive de $f sur $[0;1].
    2. Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(C), la droite $(D) et les droites d'équations $x=0 et $x=1.


Partie C

On considère la suite $\left( u_n\rp définie par: $\la\begin{array}{ll} u_0=\dfrac12 \\[0.3cm] \text{pour tout entier naturel } n, u_{n+1}=f\left( u_n\rp\enar\right..
  1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
  2. Montrer que pour tout entier $n, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1.
  3. En déduire que la suite $\left( u_n\rp est convergente et déterminer sa limite.

Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

\psset{unit=5cm,arrowsize=7pt} \fbox{\begin{pspicture}(-.2,-.2)(1.5,1.5) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-.2,0)(1.5,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-.2)(0,1.5) \psplot{0}{1}{2.718 x exp 1 sub 2.718 x exp x sub div} \newcommand{\f}[1]{#1 10 div} \multido{\i=-2+1}{18}{ \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!\f{\i}\space-.2)(!\f{\i}\space1.5) \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!-.2\space\f{\i})(!1.5\space\f{\i}) } \rput(-.05,-.05){$O$} \psline(1,-.02)(1,.02)\rput(1,-.08){$1$} \psline(-.02,1)(.02,1)\rput(-.08,1){$1$} \rput(.9,1.05){$(C)$} \end{pspicture}}


Correction


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