Bac 2011 (Amérique du nord) - Étude de fonctions avec exponentielle, position relative, suite récurrente
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Partie A
On considère la fonction
définie sur
par
.
Partie B
On considère la fonction
définie sur
par
.
La courbe
représentative de la fonction
dans le plan muni
d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de
l'épreuve.
On admet que
est strictement croissante sur
.
Partie C
On considère la suite
définie par:
.
Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Correction
On considère la fonction



- Etudier les variations de la fonction
.
- Déterminer le signe de
suivant les valeurs de
.
- En déduire que pour tout
de
,
.
Partie B
On considère la fonction

![$[0;1]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/11.png)

La courbe


On admet que

![$[0;1]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/16.png)
- Montrer que pour tout
de
,
.
- Soit
la droite d'équation
.
- Montrer que pour tout
de
,
.
- Etudier la position relative de la droite
et de la courbe
sur
.
- Montrer que pour tout
-
- Déterminer une primitive de
sur
.
- Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan délimité
par la courbe
, la droite
et les droites d'équations
et
.
- Déterminer une primitive de
Partie C
On considère la suite

![$\la\begin{array}{ll} u_0=\dfrac12 \\[0.3cm] \text{pour tout entier naturel } n, u_{n+1}=f\left( u_n\rp\enar\right.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/35.png)
- Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
- Montrer que pour tout entier
,
.
- En déduire que la suite
est convergente et déterminer sa limite.
Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
![\psset{unit=5cm,arrowsize=7pt}
\fbox{\begin{pspicture}(-.2,-.2)(1.5,1.5)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(-.2,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-.2)(0,1.5)
\psplot{0}{1}{2.718 x exp 1 sub 2.718 x exp x sub div}
\newcommand{\f}[1]{#1 10 div}
\multido{\i=-2+1}{18}{
\psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!\f{\i}\space-.2)(!\f{\i}\space1.5)
\psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!-.2\space\f{\i})(!1.5\space\f{\i})
}
\rput(-.05,-.05){$O$}
\psline(1,-.02)(1,.02)\rput(1,-.08){$1$}
\psline(-.02,1)(.02,1)\rput(-.08,1){$1$}
\rput(.9,1.05){$(C)$}
\end{pspicture}}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/39.png)
Correction
Tags:ExponentielleSuites
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