Bac 2010 (Antilles-Guyane) - suite récurrente, somme des 1er termes

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Antilles-Guyane, septembre 2010
On considère la suite de nombres réels

définie sur

par:

Calculer et en déduire que la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
On définit la suite en posant, pour tout entier naturel , .
1. Calculer .
2. Exprimer en fonction de .
3. En déduire que la suite est géométrique de raison .
4. Exprimer en fonction de .
On définit la suite en posant, pour tout entier naturel , .
1. Cacluler .
2. En utilisant l'égalité , exprimer en fonction de et de .
3. En déduire que pour tout de , .
4. Exprimer en fonction de .
Montrer que pour tout entier naturel : .
Pour tout entier naturel , on pose . Démontrer par récurrence que pour tout de : .

Correction
Antilles-Guyane, septembre 2010

.
On a donc, et ce qui montre que n'est pas arithmétique.
De même, et ce qui montre que n'est pas non plus géométrique.
1. .
2. .
3. La suite est donc géométrique de raison .
4. On a alors, pour tout entier naturel , .
1. .
2. d'après 2.
3. On a ainsi,
4. est donc une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme , et on a donc, pour tout entier naturel , .
On a .
Initialisation: Pour , on a , donc la propriété est vraie.
Hérédité: Supposons que pour un entier naturel , on ait .
Alors, , d'après l'hypothèse de récurrence.
Ainsi, , ce qui montre que la formule est alors encore vraie au rang .
Conclusion: On vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , .

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