Bac 2009 - suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

(Baccalauréat France métropolitaine, juin 2009, 4 points)

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel :
On pose, pour tout entier naturel , .
1. Pour tout nombre entier naturel , calculer en fonction de .
  
  Quelle est la nature de la suite ?
2. Démontrer que pour tout entier naturel :
3. Etudier la convergence de la suite .
On considère la suite dont les termes vérifient, pour tout nombre entier :

Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite:
1. Détailler le calcul permettant d'obtenir .
2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Donner la nature de la suite . Calculer .

Correction

1. Pour tout nombre entier naturel , .
  
  On en déduit que est géométrique de raison et de premier terme .
2. D'après la question précédente, pour tout entier , , et donc que, pour tout entier n , .
3. Comme , , et donc, .
1. Pour , , d'où, .
2. D'après les valeurs de pour les premiers entiers, on peut conjecturer que .
  
  Démonstration de la conjecture: Démonstration par récurrence.
  Initialisation: La relation est vraie pour tous les entiers .
  Hérédité: Supposons que pour un certain entier , (hypothèse de récurrence), alors, d'après l'hypothèse de récurrence.
  On a donc, , soit donc .
  Ainsi, l'expression est encore vraie au rang .
  
  On a ainsi démontré d'après le principe de récurrence que, pour tout entier , .
  
  On en déduit que .

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