Bac 2008 (La Réunion) - Suite récurrente, somme des termes d'une suite arithmétique, récurrence
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la suite définie par:
-
- Calculer .
- Les valeurs de , , , , , ,
, , , sont respectivement égales à:
, , , , , , , , ,
.
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite définie par .
- Calculer .
- On considère la suite arithmétique de
raison et de premier terme .
Justifier que la somme des premiers termes de cette suite est égale à . - Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ,
on a:
- Valider la conjecture émise à la question 1.b).
Correction
(Baccalauréat La Réunion, juin 2008, 5 points)
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(Baccalauréat La Réunion, juin 2008, 5 points)
-
- .
- Les premiers termes de la suite sont: , , , , , . A partir de ces premiers termes, on peut conjecturer que est une suite artithmétique de raison et de premier terme .
- La somme des premiers termes de la suite arithmétique est: .
- Initialisation: pour , ,
donc la relation est vraie pour .
Hérédité: Supposons que pour un certain entier ,
, alors,
, d'après l'hypothèse de récurrence, et donc,
De plus, , et donc, , ce qui montre que l'expression est encore vraie au rang .
- Pour tout entier , , soit , qui est bien l'expression d'une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme .
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