Bac 2008 (La Réunion) - Suite récurrente, somme des termes d'une suite arithmétique, récurrence

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $(u_n)_{n\in\N} définie par:
u_0=5\,,\ \mbox{ et, pour tout entier } n\geq1\,,\ u_n=\lp1+\frac{2}{n}\right) u_{n-1}+\frac{6}{n}\ .


    1. Calculer $u_1.
       
    2. Les valeurs de $u_2, $u_3, $u_4, $u_5, $u_6, $u_7, $u_8, $u_9, $u_{10}, $u_{11} sont respectivement égales à: $45, $77, $117, $165, $221, $285, $357, $437, $525, $621.
      A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite $(d_n)_{n\in\N} définie par $d_n=u_{n+1}-u_n.
     
  2. On considère la suite arithmétique $(v_n)_{n\in\N} de raison $8 et de premier terme $v_0=16.
    Justifier que la somme des $n premiers termes de cette suite est égale à $4n^2+12n.
     
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, on a: $ u_n=4n^2+12n+5
     
  4. Valider la conjecture émise à la question 1.b).


Correction
(Baccalauréat La Réunion, juin 2008, 5 points)
    1. $\displaystyle u_1=\lp1+\frac{2}{1}\right) u_0+\frac{6}{1}=3\tm5+6=21.
    2. Les premiers termes de la suite $(d_n) sont: $d_0=16, $d_1=24, $d_2=32, $d_3=40, $d_4=48, $d_5=56. A partir de ces premiers termes, on peut conjecturer que $(d_n) est une suite artithmétique de raison $r=8 et de premier terme $d_0=16.
  2. La somme des $n premiers termes de la suite arithmétique $(v_n) est: $\displaystyle v_0+v_1+v_2+\cdot+v_{n-1}=n\frac{v_0+v_{n-1}}{2} =n\frac{16+16+(n-1)8}{2}=n\left( 16+(n-1)4\right) =4n^2+12.
  3. Initialisation: pour $n=0, $u_0=5=4\tm0^2+12\tm0+5, donc la relation est vraie pour $n=0. Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n, $u_n=4n^2+12n+5, alors,
    $\displaystyle u_{n+1}=\lp1+\frac{2}{n+1}\right) u_n+\frac{6}{n+1} =\lp1+\frac{2}{n+1}\right) \lp 4n^2+12n+5\right) +\frac{6}{n+1} , d'après l'hypothèse de récurrence, et donc,
    $\displaystyle u_{n+1}=\frac{(n+3)(4n^2+12n+5)+6}{n+1} =\frac{4n^3+24n^2+41n+21}{n+1}
     
    or, $4n^3+24n^2+41n+21=(n+1)(4n^2+20n+21), d'où, $u_{n+1}=4n^2+20n+21.
    De plus, $4(n+1)^2+12(n+1)+5=4n^2+20n+21, et donc, $u_{n+1}=4(n+1)^2+12(n+1)+5, ce qui montre que l'expression est encore vraie au rang $n+1.
     
    Conclusion: On vient donc de montrer que, d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n, $u_n=4n^2+12n+5.
     

  4. Pour tout entier $n, $d_n=u_{n+1}-u_n= \Big[4(n+1)^2+12(n+1)+5\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big], soit $d_n=\Big[4n^2+20n+21\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big] =8n+16, qui est bien l'expression d'une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme $d_0=16.


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