Bac 2008 (La Réunion) - Suite récurrente, somme des termes d'une suite arithmétique, récurrence
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la suite
définie par:
![$(u_n)_{n\in\N}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex108.Reunion/1.png)
![u_0=5\,,\ \mbox{ et, pour tout entier } n\geq1\,,\
u_n=\lp1+\frac{2}{n}\right) u_{n-1}+\frac{6}{n}\ .](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex108.Reunion/2.png)
-
- Calculer
.
- Les valeurs de
,
,
,
,
,
,
,
,
,
sont respectivement égales à:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suitedéfinie par
.
- Calculer
- On considère la suite arithmétique
de raison
et de premier terme
.
Justifier que la somme despremiers termes de cette suite est égale à
.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
, on a:
- Valider la conjecture émise à la question 1.b).
Correction
(Baccalauréat La Réunion, juin 2008, 5 points)
Cacher la correction
(Baccalauréat La Réunion, juin 2008, 5 points)
-
-
.
-
Les premiers termes de la suite
sont:
,
,
,
,
,
. A partir de ces premiers termes, on peut conjecturer que
est une suite artithmétique de raison
et de premier terme
.
-
- La somme des
premiers termes de la suite arithmétique
est:
.
- Initialisation: pour
,
, donc la relation est vraie pour
. Hérédité: Supposons que pour un certain entier
,
, alors,
, d'après l'hypothèse de récurrence, et donc,
, d'où,
.
De plus,, et donc,
, ce qui montre que l'expression est encore vraie au rang
.
,
.
- Pour tout entier
,
, soit
, qui est bien l'expression d'une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme
.
Cacher la correction
Tag:Suites
Voir aussi: