Suites: récurrences, convergence montone, et limites

Exercices corrigés


Calculs de limites


Convergence monotone et point fixe

Exercice 7
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier n, un+1 = 1/4un + 3 .
  1. Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction f : x ↦ 1/4x + 3 , puis placer les points A0, A1, A2 et A3, d'ordonnée nulle et d'abscisse respective u0, u1, u2 et u3.

  2. Montrer que, pour tout entier n, on a un≤4.


  3. Montrer par récurrence que la suite (un) est croissante.

  4. En déduire que la suite (un) est convergente.


Exercice 8
Soit (un) la suite définie par u0 = 3 et, pour tout entier n, un+1 = un + 1.
  1. Calculer les quatre premiers termes de la suite, et conjecturer le sens de variation de la suite (un).
    Démontrer cette conjecture.

  2. Montrer que, pour tout entier n, on a 0 < un≤3,

  3. En déduire que la suite (un) est convergente vers une limite l.

  4. Déterminer l.

Exercices complets avec suite auxiliaire et sommes et produit des termes



Voir aussi:


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