Suites: récurrences, comparaisons et limites

Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 1 et, pour tout entier n, u_n+1 = 1/3u_n + n − 2

1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
   
   
2. Montrer que, pour tout n≥4, u_n≥0.
   
   
3. En déduire que, pour tout n≥5, u_n≥n − 3.
   
   
4. En déduire la limite de la suite (u_n).
   

Soit, pour tout entier n, u_n = cos(n) / n + 1 .
Montrer que pour tout entier n, −1/n + 1 ≤u_n≤ 1/n + 1 , puis en déduire la limite de la suite (u_n).

Soit, pour tout entier n, u_n = n + (−1)ⁿ / n² + 1 .
Montrer que pour tout entier n, n −1 / n² + 1 ≤u_n≤ n + 1 / n² + 1 , puis en déduire la limite de la suite (u_n).

Soit, pour tout entier n, u_n = (−1)ⁿ + n / (−1)ⁿ + 2 .
Montrer que pour tout entier n, u_n ≥ n − 1 / 3 , puis en déduire la limite de la suite (u_n).

Soit la suite définie par u₀ = 0 et u_n+1 = 1/2u_n² + 12.

1. Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.
   Quel semble être la limite de (u_n) ?
   
   
2. Montrer que la suite (v_n) définie par v_n = u_n² − 4 est géométrique.
   
   
3. En déduire la limite de la suite (v_n) puis celle de la suite (u_n).

Soit (u_n) la suite définie par u₀≥−3 et u_n+1 = 3 + u_n.
Quelle valeur de u₀ faut-il prendre pour que la suite (u_n) soit stationnaire ?