Suites: études, récurrences, convergences

Exercices complets corrigés


Calculs de limites

Démonstrations par récurrence

Convergence monotone et point fixe


Exercices complets avec suite auxiliaire et sommes et produit des termes


Exercice 15
On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0=5$ et, pour tout entier $ n$ , $ 3u_{n+1}=u_n+4$ .
  1. Calculer $ u_1$ et $ u_2$ .

  2. Démontrer que, pour tout entier $ n$ , $ u_n\geqslant 2$ .

  3. Montrer que $ (u_n)$ est une suite décroissante.

  4. Montrer que la suite $ (u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

  5. On pose, pour tout entier $ n$ , $ v_n=u_n-2$ .
    Montrer que $ (v_n)$ est une suite géométrique.
    En déduire l'expression de $ v_n$ en fonction de $ n$ .

  6. Soit $ \displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n v_k=v_0+v_1+\dots+v_n$ et $ \displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\dots+u_n$ .
    Déterminer l'expression de $ S_n$ , puis de $ T_n$ , en fonction de $ n$ .

  7. Déterminer $ \displaystyle \lim_{n\to+\infty} S_n$ et $ \displaystyle \lim_{n\to+\infty} T_n$ .


Exercice 16
Soit la suite numérique (un) définie sur N* par un = n(n + 2) / (n + 1)2 .
    1. Montrer que, pour tout n∈N*, un = 1 − 1 / (n + 1)2 .
    2. Prouver que, pour tout n∈N*, 0 < un < 1.

    3. Étudier le sens de variation de la suite (un) .

  2. On pose xn = u1 × u2 × … × un .
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n non nul, on a xn = n + 2 / 2(n + 1)

    2. Déterminer la limite de la suite (xn) .


Voir aussi:


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