Source Latex: Cours de mathématiques, Géométrie dans l'espace

Terminale générale, spécialité mathématiques

Géométrie dans l'espace

Cours de mathématiques: géométrie dans l'espace, produit scalaire
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques: géométrie dans l'espace, produit scalaire
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Rappels: produit scalaire dans le plan
  • Produit scalaire et géométrie analytique du plan
  • Géométrie analytique dans l'espace
    • Vecteurs coplanaires
    • Représentation paramétrique d'une droite
  • Produit scalaire dans l'espace
    • Projection orthogonale dans l&pos;espace
    • Produit scalaire dans l'espace
  • Expressions et propriétés du produit scalaire
  • Orthogonalité dans l'espace
    • Orthogonalité de deux droites
    • Droites et plans perpendiculaires
    • Vecteur normal à un plan
  • Intersection de plans et de droites
  • Théorème du toit
Mots clé
Cours de mathématiques, géométrie dans l'espace, produit scalaire, TS, terminale S

Quelques devoirs


Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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\makeatother

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de math�matiques: G�om�trie dans l'espace - Produit scalaire},
    pdftitle={G�om�trie dans l'espace - Produit scalaire},
    pdfkeywords={Math�matiques, terminale g�n�rale, sp�cialit� maths, 
      G�om�trie, espace, Produit scalaire
    }
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\ga{\gamma}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{%
  \vspt\noindent%
  \ul{D�monstration:} #1%
  \hfill$\square$%
}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}





\headheight=0cm
\textheight=26cm
\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{G�om�trie dans l'espace}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - sp� maths en terminale g�n�rale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{.1em}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}
%\vspace{0.1em}

\vspace{1em}

\hspace*{10cm}{\bgmp{9em}Terminale g�n�rale\\sp�cialit� maths\enmp}

\pscircle[linecolor=blue,fillstyle=gradient,GradientCircle=true,%
  %gradbegin=orange!90!red,gradend=green!80!orange,
   gradbegin=blue,gradend=white,%
   GradientPos={(17,0.5)},gradmidpoint=2.2](17,0){1.8}

\psarc[linewidth=1pt,linecolor=black,linestyle=dashed](17,2.2){2.4}{222}{316}
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\psarc[linewidth=1pt,linecolor=black,linestyle=dashed](18.8,0.5){2.6}{136}{220}

\vspace{1em}

\hspace*{1.2em}\bgmp{18cm}\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize
\enmp


%,fillcolor=blue
%\pspolygon[fillstyle=gradient,fillcolor=blue,linestyle=none](-1,-5.5)(.1,-4)(.1,16)(-1,16)
\pspolygon[fillstyle=gradient,gradangle=90,fillcolor=blue,linestyle=none](-1,-5.5)(.1,-4)(.1,17.5)(-1,16)

%\pspolygon[fillstyle=gradient,fillcolor=blue,linestyle=none](-1,-1.5)(18.5,-1.5)(18.5,-.7)(.1,-.7)
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\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-1.8,-1.55)(1.5,.8)

%\vspace{3em}
\clearpage

\section{Rappels - Produit scalaire dans le plan}

\bgdef{
  Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, alors 
  $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\lp \vec{u},\vec{v}\rp$

\medskip
Le carr� scalaire de $\vec{u}$ est: 
$\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2$ 
(car $\cos(\vec{u},\vec{u})=\cos(0)=1$).
}



\bgprop{
  Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, 
  et tout r�el $k$,\\
  \begin{tabular}{ll}
    $\bullet \quad \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ &(sym�trie)\\
    $\bullet \quad (k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\vec{u}\cdot\vec{v}$ &(lin�arit�)\\
    $\bullet \quad \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$
    &(lin�arit�)
  \end{tabular}
}

\bgprop{(Produit scalaire et projection)
  
  \bgmp{10cm}
  Soit $A$, $B$ et $C$ trois points, et $C'$ le projet� orthogonal de 
  $C$ sur $(AB)$, alors, 
  \[
  \V{AB}\cdot\V{AC}=  \V{AB}\cdot\V{AC'}=
  \la\bgar{ll}
  AB\tm AC' \text{ si }\V{AB} \text{ et } \V{AC'} \text{ont m�me sens}
  \\[0.3cm]
  -AB\tm AC' \text{ si }\V{AB} \text{ et } \V{AC'} \text{ont un sens contraire}
  \enar\right.
  \]
  \enmp
  \bgmp{3cm}
  \psset{unit=1.3cm}
  \begin{pspicture}(0,-1.7)(3,1.)
    \pspolygon(0,0)(3,0)(2,1)
    \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1)
    \rput(-0.2,-0.2){$A$}
    \rput(2,-0.25){$C'$}
    \rput(3.2,-0.2){$B$}
    \rput(2,1.3){$C$}
  \end{pspicture}
  \enmp
}



\bgprop{
  $\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \iff 
  \la\bgar{ll}
  \vec{u}=\vec{0} \ \mbox{ ou\,, } \vec{v}=\vec{0} \vspd\\
  \mbox{ ou\,, } \vec{u}\perp\vec{v}
  \enar\right.
  $
}

\noindent
\bgmp{12.6cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un carr�, et $I$ et $J$ les points tels que 
$\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$ et $\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$. 

\vsp
D�montrer que les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont perpendicualires.
\enex
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,2.5)
  \pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5)
  \rput(-0.2,2.7){$A$}\rput(2.7,2.7){$B$}
  \rput(2.7,-0.2){$C$}\rput(-0.2,-0.2){$D$}
  \psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$}
  \psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.25){$J$}
\end{pspicture}
\enmp

\bigskip
\bgex
$A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=3$ cm. 
\bgen[a)]
\item D�terminer l'ensemble $E_1$ des points $M$ du plan tels que   
  $\V{AM}\cdot\V{AB}=0$. 
\item Donner un point $H$ de $(AB)$ tel que 
  $\V{AH}\cdot\V{AB}=-6$. 

  D�terminer l'ensemble $E_2$ des points $M$ du plan tels que  
  $\V{AM}\cdot\V{AB}=-6$. 
\enen
\enex




\bgprop{(Formules de polarisation)
  \[\bgar{ll}\vec{u}\cdot\vec{v}
  &=\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Bigr]
  \\[1em]
  &=\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\Bigr]
  \\[1em]
  &=\dfrac14\Bigl[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{v}-\vec{u}|^2\Bigr] 
  \enar\]
}

\bgproof{C'est une d�monstration � conna\^itre car, entre autre, permettant de retrouver simplement toutes ces formules qui sont, en fait, des identit�s remarquables: 
  \[\bgar[t]{ll}
  \|\vec{u}+\vec{v}\|^2=
  \lp \vec{u}+\vec{v} \rp\cdot\lp \vec{u}+\vec{v} \rp
  &=
  \vec{u}\cdot\vec{u}
  +\vec{u}\cdot\vec{v}
  +\vec{v}\cdot\vec{u}
  +\vec{v}\cdot\vec{v} \vspd\\
  &=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2
  \enar\]
  
  d'o� la premi�re formule en isolant le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, 
  $\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Bigr]$

  \bigskip
  De m\^eme, 
  \[\bgar[t]{ll}
  \|\vec{u}-\vec{v}\|^2=
  \lp\vec{u}-\vec{v} \rp\cdot\lp \vec{u}-\vec{v} \rp
  &=\|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2
  \enar\]
  
  d'o� la deuxi�me formule en isolant le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, 
  $\dsp
  \vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\Bigr]$

  \bigskip
  Enfin, on peut faire la somme des deux formules pr�c�dentes, ce qui 
  donne 
  \[\bgar{ll}
  2\vec{u}\cdot\vec{v}&=\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Bigr]+\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\Bigr]\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\Bigr]
\enar\]
d'o� le r�sultat en divisant par 2. 

\bigskip
On peut aussi, comme pr�c�demment, d�velopper le calcul des carr�s scalaires 
$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2$. 

}


\bigskip\noindent
\bgmp{12.3cm}
\bgth{
  {\it (Al-Kashi, ou Pythagore g�n�ralis�)}\\
  Dans un triangle $ABC$ quelconque, on a : 
  \[   a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha \]
}
\enmp
\bgmp[t]{6cm}
\psset{unit=0.8cm}%{xunit=1.4cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(0.5,1)(5,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,1.5)\put(-0.5,0.){$B$}
\psline[linewidth=0.8pt](3,1.5)(6,-1)\put(2.9,1.7){$A$}
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(6,-1)\put(6.2,-1){$C$}

\psarc(0,0){0.8}{-9.5}{26.5}\put(1.1,0.15){$\beta$}
\psarc(3,1.5){0.6}{207}{320}\put(2.8,0.6){$\alpha$}
\psarc(6,-1){1}{140}{171}\put(4.6,-0.5){$\gamma$}

\put(2.7,-0.9){$a$}\put(1.3,1.){$c$}\put(4.5,0.5){$b$}
\end{pspicture}	
\enmp
\bgcorol{
  {\it (Th�or�me de Pythagore)} 
  $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si \ 
  $a^2=b^2+c^2$.
}

\bgproof{
  $\bgar[t]{ll}
  a^2=\V{BC}^2=\lp \V{BA}+\V{AC}\rp^2
  &=\V{BA}^2+\V{AC}^2+2\V{BA}\cdot\V{AC} \vsp\\
  &=c^2+b^2+2\cos(\pi-\alpha) \vsp\\
  &=c^2+b^2-2\cos\alpha
  \enar$

\vspd
Le th�or�me de Pythagore est alors un corollaire direct: 

$ABC$ rectangle en $A$ $\iff$ $\alpha=\dfrac{\pi}{2} [\pi]$
$\iff \cos\alpha=0$ $\iff$ $a^2=b^2+c^2$.
}


\bgex
Soit un triangle de c\^ot�s 3cm, 5cm et 7cm. 
D�terminer les trois angles de ce triangle. 
\enex


\section{G�om�trie analytique du plan}

\subsection{Expression du produit scalaire}

\vspace{-0.4cm}
\bgprop{Soit dans un rep�re orthonormal, 
  $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$. 
  Alors, $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$
}

\vspq\noindent
\ul{Remarque:} On a alors aussi, 
$\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2$, 
soit, 
$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

\bgex
Reprendre l'exercice 1, et donner dans le rep�re orthonormal 
$(D;\V{DC},\V{DA})$ les coordonn�es de tous les points de la figure. 

D�montrer alors que les vecteurs $\V{AI}$ et $\V{BJ}$ sont
orthogonaux. 
\enex


\bgex
Dans un RON, on consid�re les points $A(1;1)$, $B(-1;2)$ et
$C(-3;0)$. 

Donner une valeur de $\widehat{ABC}$ � $0,1$ degr� pr�s.
\enex

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Dans un RON (rep�re orthonormal), on consid�re les points 
$A(1;1)$, $B(-1;2)$ et $C(-3;0)$. 
Soit de plus $H$ le projet� orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$. 

\bgen
\item Calculer l'angle $\widehat{ABC}$. 

\item Calculer les coordonn�es de $H$. \\
  En d�duire la longueur $BH$.
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}*(-4,-0.5)(4,4.3)
  \rput(1,1){$\tm$}\rput(1.2,1.2){$A$}
  \rput(-1,2){$\tm$}\rput(-1.2,2.2){$B$}
  \rput(-3,0){$\tm$}\rput(-3.05,-0.25){$C$}
  \psline{->}(-3.7,0)(2.3,0)
  \multido{\i=-5+1}{8}{\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)}
  \psline{->}(0,-1.3)(0,4.2)
  \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)}
  \psline(-4,-1)(1,4)
  \psline[linestyle=dashed](-0.5,2.5)(1,1)%\rput(-0.5,2.5){$\tm$}
  \rput(-0.7,2.7){$H$}
\end{pspicture}
\enmp



%\clearpage

\subsection{\'Equation d'une droite de vecteur normal $\vec{n}$}

\vspace{-1em}
\bgdef{
  Un vecteur $\vec{n}$ normal � une droite $d$ est un vecteur 
  orthogonal � la direction de $d$.
}

\bigskip

\noindent
\ul{Cons�quence:}
\bgmp[t]{15.5cm}
\bgit
\item[$\bullet$] Ainsi, si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, on a 
  $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$. 

  \vspd
\item[$\bullet$] Si $A$ est un point de la droite $d$, alors $d$ est
  l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\V{AM}\cdot\vec{n}=0$. 
\enit
\enmp

\bgprop{Une droite de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ a une 
    �quation cart�sienne de la forme $ax+by+c=0$. 
}

\bgproof{
  Soit $\vec{n}(a;b)$, et $A(x_A;y_A)$ un point de $d$, 
  et $M(x;y)$ un point quelconque de la droite, alors  
  on a $\V{AM}\cdot\vec{n}=0$, soit 

  $\V{AM}\cdot\vec{n}=a(x-x_A)+b(y-y_B)$, 
  donc, 

  \[\bgar{ll}\V{AM}\cdot\vec{n}=0&\iff a(x-x_A)+b(y-y_B)=0\\[1em]
  &\iff ax+by+c=0$, avec $c=-ax_A-by_B\enar\]
}

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} 
Si $b\not=0$, on peut retrouver l'�quation r�duite de la droite $d$: 
$ax+by+c=0 \iff y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$

\vspd
\bgex
$ABC$ est un triangle tel que 
$A(3;-2)$, $B(0;-1)$ et $C(1;3)$. 

\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation de la m�diatrice du segment $[AB]$. 
\item D�terminer une �quation de la hauteur issue de $C$ dans le
  triangle $ABC$.
\enen
\enex

\bgex
Dans un RON, on consid�re les points 
$A(-3;0)$, $B(3;-1)$ et $C(1;5)$. 

\vspd
\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation de la droite $d_1$ perpendiculaire � 
$(AB)$ et passant par $C$. 
\item D�terminer une �quation de la droite $d_2$ parall�le �
  $(AB)$ et passant par $C$ 
  (on pourra tout d'abord d�terminer un vecteur $\vec{n}$ normal 
  � $\V{AB}$). 
\enen
\enex


\bgex
$ABC$ est un triangle tel que 
$A(1;-2)$, $B(4;3)$ et $C(-2;1)$. 

\vsp
Calculer les coordonn�es de l'hortocentre du triangle $ABC$.
\enex




%\subsection{Distance d'un point � une droite}
%
%\bgmp{11cm}
%\bgprop{
%  Soit $d$ la droite d'�quation $ax+by+c=0$
%  (avec $(a;b)\not=(0,0)$), et $A$ le point de coordonn�es
%  $(x_A;y_A)$, 
%  alors, la distance de $A$ � $d$ est �gale � 
%  $\dsp \frac{|ax_A+bx_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. 
%}
%\enmp
%\bgmp[t]{6cm}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,1.5)
%  \psline(0,0)(6,0)\rput(5,0.3){$d$}
%  \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1.5)
%  \rput(2,-0.25){$H$}\rput(2,1.5){$\tm$}\rput(2,2){$A$}
%  \pspolygon(2,0)(2,0.2)(2.2,0.2)(2.2,0)
%  \psline{->}(3.5,0)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\vec{n}$}
%  \pspolygon(3.5,0)(3.5,0.2)(3.7,0.2)(3.7,0)
%\end{pspicture}
%\enmp
%
%\bgproof{
%  La distance de $A$ � $d$ est la distance $AH$ o� $H$ est le projet�
%  orthogonal de $A$ sur $d$.
%
%  Le vecteur $\V{AH}$ est colin�aire � $\vec{n}(a;b)$ qui est aussi
%  normal � $d$, et donc il existe un r�el $\lbd$ tel que 
%  $\V{AH}=\lbd\vec{n}$. 
%
%  \vsp
%  On cherche alors $AH=\|\V{AH}\|=|\lbd|\|\vec{n}\|=|\lbd|\sqrt{a^2+b^2}$.
%
%  \vspd
%  On a, $\V{AH}(\lbd a;\lbd b)$, et comme 
%  $\V{AH}(x_H-x_A;y_H-y_A)$, on a donc, 
%  $x_H=\lbd a+x_A$ et $y_H=\lbd b+y_A$.
%
%  \vspd
%  De plus, $H\in d$, et donc, $ax_H+bx_H+c=0$, d'o�, 
%  
%  $\dsp a(\lbd a+x_a)+b(\lbd b+y_B)+c=0
%  \iff \lbd=-\frac{ax_A+by_B+c}{a^2+b^2}$. 
%
%  et finalement, 
%  $\dsp AH=|\lbd|\|\vec{n}\|=|\lbd|\sqrt{a^2+b^2}
%  =\left|-\frac{ax_A+by_B+c}{a^2+b^2}\right|\sqrt{a^2+b^2}
%  =\frac{|ax_A+bx_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
%}

\subsection{Repr�sentation d'une droite de vecteur directeur $\vec{u}$}

\subsubsection{Repr�sentation param�trique}

La droite $d$ passant par le point $A\lp x_A;y_A\rp$ et de vecteur
directeur $\vec{u}(a;b)$ est l'ensemble des points $M$ tels que 
$\V{AM}=t\vec{u}$, $t\in\R$.


\bgdef{
  L'�quation $\V{AM}=t\vec{u}$, $t\in\R$, est une {\bf une repr�sentation param�trique} de la droite, le r�el $t$ �tant le param�tre. 

  \medskip
  Avec des coordonn�es, pour $\vec{u}(a;b)$,  
  \[\bgar{ll}M(x;y)\in d&\iff \text{il existe un r�el } t\in\R \text{ tel que } \V{AM}=t\vec{u}\\[.8em]
  &\iff
  \la\bgar{ll} 
  x=x_A+ta \\
  y=y_A+tb 
  \enar\right.
  \enar\]
  {\sl (c'est-�-dire tel que \quad "$M=A+t\vec{u}$\,").}

  Le syst�me pr�c�dent s'appelle donc aussi {\bf une repr�sentation param�trique} de la droite $d$, ou un syst�me d'�quations param�triques de la droite $d$. 
  ($t$ �tant ici le param�tre de cette repr�sentation).
}




\bgex
On consid�re la droite $d$ passant par $A(-2;3)$ et $B(5;2)$. 
\bgen
\item Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$. 
\item Donner alors une repr�sentation param�trique de la droite $d$. 
\item Les points $M(-9;4)$, $N(12;1)$, $P(-23;5)$ appartiennent-ils � cette
  droite ?
\enen
\enex


\subsubsection{Repr�sentation par une �quation cart�sienne}

La droite $d$ passant par le point $A\lp x_A;y_A\rp$ et de vecteur
directeur $\vec{u}(a;b)$ est l'ensemble des points $M$ tels que 
$\V{AM}=t\vec{u}$, $t\in\R$, ce qui signifie que les vecteurs 
$\V{AM}$ et $\vec{u}$ sont \textbf{colin�aires}, soit aussi 
avec $M(x;y)$, 
\[\bgar{ll}\V{AM}(x-x_A;y-y_A) \text{ et } \vec{u}(a;b) \text{ colin�aires }
&\iff b\lp x-x_A\rp-a\lp y-y_A\rp=0 \\
&\iff \alpha x+\beta y+c=0
\enar\]
avec $\alpha=b$, $\beta=-a$ et $c=-ay_A-bx_A$. 

\bgdef{L'�quation $\alpha x+\beta y+c=0$ est une �quation cart�sienne de la droite de vecteur directeur $\vec{u}(-\beta;\alpha)$ et de vecteur normal 
$\vec{n}(\alpha;\beta)$.}

\bigskip\noindent
\ul{Remarque:} on remarque facilement que $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux 
car $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$. 

\bgex
On consid�re les droites $d_1:x+2y+3=0$ et $d_2:3x-y+2=0$ et $d_3:-6x+2y+6=0$. 
\bgen[a)]
\item Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles parall�les ? s�cantes ? 
\item D�terminer les intersections �ventuelles des droites $d_1$ et $d_2$, puis $d_2$ et $d_3$. 
\enen
\enex

\bgex
Les droites $d_1$ et $d_2$ de repr�sentations param�triques 
\[d_1:\la\bgar{ll}x&=1+2t\\y&=3+4t\enar, t\in\R\right.
\text{ et } 
d_2:\la\bgar{ll}x&=-2+t\\y&=1-2t\enar, t\in\R\right.
\]
sont-elles s�cantes ? D�terminer les coordonn�es de leur point d'intersection. 
\enex

\subsection{Equation d'un cercle}

Soit $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ deux points du plan, et 
$\Omega(x_C;y_C)$ le milieu de $[AB]$ \\
(donc 
$x_\Omega=\frac{x_A+x_B}2$
et 
$y_\Omega=\frac{y_A+y_B}2$)

\bgprop{\vspace{-5em}

  \bgmp[t]{11.5cm}
  \bgen
  \item Le cercle $\mathcal{C}$ de diam�tre $[AB]$ est l'ensemble
    des points $M$ tels que 
    \[\V{MA}\cdot\V{MB}=0
    \iff (x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0\]
  \item Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(x_C;y_C)$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que 
    \[\bgar{ll}\Omega M=R 
    &\iff\sqrt{(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2}=R^2\\[1em]
    &\iff\quad(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2\enar\]
  \enen
  \enmp
  \bgmp[m]{5cm}
  \psset{unit=1.1cm}
  \begin{pspicture}(-0.8,1)(4,4)
    \pscircle(2,0){2}
    \psline(0,0)(4,0)
    \rput(2,0){$\tm$}
    \rput(-0.2,-0.2){$A$}\rput(4.2,-0.2){$B$}\rput(2,-0.35){$C$}
    \rput(0.9,2){$M$}
    \pspolygon(0,0)(1,1.722)(4,0)
  \end{pspicture}
  \enmp
}


\bgex
Dans un RON, on consid�re la droite $d$ d'�quation $x+2y-2=0$ et 
le cercle $\mathcal{C}$ de diam�tre $[AB]$, 
avec $A(-3;5)$ et $B(1;-1)$.
\bgen
\item Repr�senter graphiquement $\mathcal{C}$ et $d$. 
\item Donner une �quation cart�sienne de $\mathcal{C}$. 
\item Calculer les coordonn�es des deux points d'intersection de
  $\mathcal{C}$ et $d$.
\enen
\enex


\bgex
Soit dans un RON, le point $I(3;-1)$ et la droite $d$ d'�quation 
$-x+y+1=0$. 

\bgen[a)]
\item Calculer la distance du point $I$ � la droite $d$. 
\item D�terminer une �quation du cercle $\mathcal{C}$ 
  de centre $I$ est tangent � $d$.
\enen
\enex




\clearpage
%\setcounter{nex}{0}
\section{G�om�trie analytique dans l'espace}

\vspace{-0.4cm}
L'espace est muni d'un rep�re orthonorm�
$(0;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 

\bgmp{9.5cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-3,-4.)(6.4,4.5)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(-2.5,0)(5.6,0)\rput(5.,0.3){$y$}
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-1.5)(0,4.5)\rput(-0.3,3.){$z$}
  \psline[linewidth=1.2pt]{<-}(-3.5,-3.5)(1.1,1.1)\rput(-2.3,-2.){$x$}
  \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.7,0.35){$\vec{j}$}
  \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.7){$\vec{k}$}
  \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(-1,-1)\rput(-0.9,-0.4){$\vec{i}$}
  \multido{\i=-2+1}{8}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
    \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
  }
  \newlength{\unitcm}\setlength{\unitcm}{1cm}
  \newlength{\tmpx}
  \newlength{\tmpy}
  \multido{\i=-3+1}{5}{
    \setlength{\tmpx}{0.1cm+\i\unitcm}
    \setlength{\tmpy}{-0.1cm+\i\unitcm}
    \psline(\tmpy,\tmpx)(\tmpx,\tmpy)
  }
  \psline[linestyle=dashed](-2,-2)(3,-2)
  \psline[linestyle=dashed](3,-2)(5,0)
  \psline[linestyle=dashed](3,-2)(3,1)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(3,-2)
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,1)
  \rput(3,1){$\tm$}\rput(3.9,1.3){$M(x;y;z)$}
  \rput(3.9,-2.2){$H(x;y;0)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un {\bf unique} triplet
$(x;y;z)$ de nombres r�els tels que 
\[\V{OM}=x\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\]

On note $M(x;y;z)$ les coordonn�es du point~$M$.
\enmp


\vspace{-0.8cm}

\bgex $ABCDEFGH$ est un cube. 


\bgmp{12cm} 

\bgit
\item[1)] D�terminer dans le rep�re 
  $(A;\V{AB},\V{AD},\V{AE})$ les coordonn�es de tous les points. 
  \vsp
\item[2)] D�terminer les longueurs $AC$, $OG$ et $BG$. 
  \vsp
\item[3)] Le triangle $HAF$ est-il rectangle en $A$ ?
\enit
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,2.5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(4,0.5)(4,3.5)
  \psline(4,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(3,3)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.3,0.6){$C$}
  \rput(1.2,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(2.95,3.18){$F$}
  \rput(4.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
  \rput(2.1,2.1){$O$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex


\bgex
Soit, dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, 
les points 
$A(1;5;2)$, 
$B(-2;3;4)$, 
$C(-2;-2;0)$ et 
$D(7;-3;1)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$. 
  Ces vecteurs sont-ils colin�aires ?
\item Calculer les longueurs $AB$ et $AC$. 
\item D�terminer les coordonn�es des milieux des segments $[AB]$ et
  $[CD]$. 
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs 
  $\vec{u}=\dfrac12\V{AB}+3\V{CD}$ 
  et 
  $\vec{v}=-\dfrac13\V{AD}-2\V{BC}$.
\item D�terminer les coordonn�es du point $K$ tel que 
  $ABCK$ soit un parall�logramme. 
\item Calculer les coordonn�es du point $A'$ sym�trique de $A$ par
  rapport � $B$. 
\enen
\enex

\subsection{Vecteurs coplanaires} 

\bgdef{{\it (Vecteurs coplanaires)}
  Dire que les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ sont
  coplanaires signifie qu'ils peuvent �tre plac�s dans un m�me plan: 
  les points $O$, $A$, $B$ et $C$ tels que 
  $\V{OA}=\vec{u}$, $\V{OB}=\vec{v}$ et $\V{OC}=\vec{w}$ sont dans un
  m�me plan.
}

  \[\psset{unit=1.cm}
  \begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(5,2.2)
    \rput[l](-.4,-.6){$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires}
    \pspolygon(-0.3,-0.1)(4,-0.1)(5,1.2)(0.7,1.2)\rput(0.1,0.1){$\mathcal{P}$}
    \psline{->}(2.2,0.3)(3.4,0.8)\rput(2.8,0.75){$\vec{v}$}
    \psline{->}(2.2,0.3)(1.,0.8)\rput(1.3,0.45){$\vec{u}$}
    \psline{->}(2.2,0.3)(3.7,0.1)\rput(3.25,0.35){$\vec{w}$}
    \rput(2.1,0.1){$O$}
    \rput(0.85,0.9){$A$}
    \rput(3.5,0.95){$B$}
    \rput(3.85,0.1){$C$}
  \end{pspicture}
  \hspace{0.8cm}
  \begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(5,2.2)
    \rput[l](-.4,-.6){$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas coplanaires}
%    \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1.)(1,1.)\rput(0.4,0.2){$\mathcal{P}$}
    \pspolygon(-0.3,-0.1)(4,-0.1)(5,1.2)(0.7,1.2)\rput(0.1,0.1){$\mathcal{P}$}
    \psline{->}(2.2,0.3)(3.4,0.8)\rput(2.8,0.75){$\vec{v}$}
    \psline{->}(2.2,0.3)(1.8,1.8)\rput(1.8,0.9){$\vec{u}$}
    \psline{->}(2.2,0.3)(3.7,0.1)\rput(3.25,0.35){$\vec{w}$}
    \rput(2.1,0.1){$O$}
    \rput(1.6,1.7){$A$}
    \rput(3.5,0.95){$B$}
    \rput(3.85,0.1){$C$}
  \end{pspicture}
  \]


\bgprop{
  Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si
  et seulement si il exsite des r�els $a$ et $b$ tels que 
  $\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}$.
}

\bgex 
Les vecteurs 
$\vec{u}\lp\bgar{c} 3\\6\\0\enar\rp$, 
$\vec{v}\lp\bgar{c} 1\\2\\2\enar\rp$ et 
$\vec{w}\lp\bgar{c} 1\\2\\-1\enar\rp$ 
sont-ils coplanaires ? 
\enex


\bgex 
Les vecteurs 
$\vec{u}\lp\bgar{c} 4\\-2\\0\enar\rp$, 
$\vec{v}\lp\bgar{c} 6\\-1\\2\enar\rp$ et 
$\vec{w}\lp\bgar{c} 2\\0\\-1\enar\rp$ 
sont-ils coplanaires ?
\enex



\bgprop{
  Si $\vec{u}$,$\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs non
  coplanaires de l'espace, alors, pour tout vecteur $\vec{t}$, 
  il existe un unique triplet $(a;b;c)$ tel que 
  \[\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}\ .\]
  
  Pour tout point $A$, $\lp A;\vec{u},\vec{v},\vec{v}\rp$ forme alors
  un rep�re de l'espace.  
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ sont trois vecteurs non
coplanaires de l'espace, 2 � 2 orthogonaux, et forment un rep�re 
(orthonorm�) de l'espace: tout vecteur $\vec{t}$ s'exprime selon ses
coordonn�es $(x;y;z)$ dans ce rep�re: 
\[\vec{t}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\ .\]




\subsection{Repr�sentation param�trique d'une droite}

La droite $d$ passant par le point $A\lp x_A;y_A;z_A\rp$ et de vecteur
directeur $\vec{u}(a;b;c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que 
$\V{AM}=t\vec{u}$, $t\in\R$.


\bgdef{
  L'�quation $\V{AM}=t\vec{u}$, $t\in\R$, est une {\bf une repr�sentation param�trique} de la droite, le r�el $t$ �tant le param�tre. 

  \medskip
  Avec des coordonn�es, pour $\vec{u}(a;b;c)$,  
  \[\bgar{ll}M(x;y;c)\in d&\iff \text{il existe un r�el } t\in\R \text{ tel que } \V{AM}=t\vec{u}\\[.8em]
  &\iff
  \la\bgar{ll} 
  x=x_A+ta \\
  y=y_A+tb \\
  z=z_A+tc
  \enar\right.
  \enar\]
  {\sl (c'est-�-dire tel que \quad "$M=A+t\vec{u}$\,").}

  Le syst�me pr�c�dent s'appelle donc aussi {\bf une repr�sentation param�trique} de la droite $d$, ou un syst�me d'�quations param�triques de la droite $d$. 
  ($t$ �tant ici le param�tre de cette repr�sentation).
}




\bgex
On consid�re la droite $d$ passant par $A(-2;3;1)$ et $B(5;2;-2)$. 

\bgen
\item Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$. 
\item Donner alors une repr�sentation param�trique de la droite $d$. 
\item Les points $M(-9;4;4)$ et $N(12;1;1)$ appartiennent-ils � cette
  droite ?
\enen
\enex


\bgex
Dans un RON, on donne les points $A(1;-2;3)$ et $B(0;0;1)$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite
  $(AB)$. 

\vsp
\item[b)] Les points $C(-3;6;-5)$ et $D(2;-5;5)$ appartiennent-ils �
  cette droite ?
\enit
\enex

\bgex
Les droites $d$ et $d'$ d�finies par les repr�sentations
param�triques suivantes sont-elles orthogonales ? 
\vspace{-0.6cm}
\[\hspace{1.6cm}\la\bgar{cccccl}
x&=&2t &-& 1 \\
y&=&-3t &+& 2\\
z&=&t &&
\enar\right.,\ t\in\R
\hspace{1cm} \mbox{et, }\ \ 
\la\bgar{cccccl}
x&=&3t &&  \\
y&=&t &+& 2\\
z&=&-3t &-& 2
\enar\right.,\ t\in\R
\]
\enex

\bgex 
D�montrer que les droites $d$ et $d'$ d�finies par les repr�sentations
param�triques suivantes sont s�cantes: 
\vspace{-0.6cm}
\[\hspace{1.6cm}\la\bgar{cccccl}
x&=&5 &+& 3t \\
y&=&2 &+& t\\
z&=&1 &-& 4t
\enar\right.,\ t\in\R
\hspace{1cm} \mbox{et, }\ \ 
\la\bgar{cccccl}
x&=&-11 &+& 2t \\
y&=&10 &-& 2t\\
z&=&4 &+& t
\enar\right.,\ t\in\R
\]
\enex



\bgex
Soit, dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, 
$A(-1;1;2)$, $\vec{u}(1;0;1)$ et $\vec{v}\lp\dfrac12;-1;1\rp$. 

\bgen
\item Ecrire une repr�sentation param�trique du plan $(A;\vec{u},\vec{v})$
\item Les points $B(1;2;3)$  et $C(0;-1;4)$ appartiennent-il � ce plan ?
\item D�terminer l'intersection $d$ de ce plan et du plan
  $(O;\vec{i},\vec{j})$. 

  Pr�ciser un point et un vecteur directeur de $d$. 
\enen
\enex

\section{Produit scalaire dans l'espace}

\vspace{-2em}
\bgdef{
  Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace, et 
  $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace tels que 
  $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{AC}$. 

  Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le
  produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$ calcul� dans un plan 
  contenant les points $A$, $B$ et $C$. 
}

\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Si les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas align�s, 
il existe un unique plan $\mathcal{P}$ contenant $A$, $B$ et $C$.
Dans ce plan, $(A;\V{AB},\V{AC})$ est un rep�re 
(a priori quelconque). 

\[\psset{unit=1.cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(5,1.6)
  \pspolygon(-0.3,-0.3)(4.5,-0.3)(5.7,1.5)(0.9,1.5)\rput(0.1,-.1){$\mathcal{P}$}
  \psline{->}(2.2,0.3)(3.4,0.8)
  \psline{->}(2.2,0.3)(3.7,0.1)
  \rput(2.1,0.1){$A$}
  \rput(3.6,1){$B$}
  \rput(3.95,0.1){$C$}
\end{pspicture}
\]
%\vspd
%\noindent
%\bgmp[t]{12.5cm}
%\ul{Exemple:} 
%Dans le cube $ABCDEFG$ d'ar�te $a$, 
%\[\V{AB}\cdot\V{DG}=\V{AB}\cdot\V{AF}=\V{AB}\cdot\V{AB}=a^2
%\]
%\[ \mbox{et, }\ \ \V{AC}\cdot\V{BF}=\V{AC}\cdot\V{AE}=0
%\]
%\enmp
%\bgmp[m]{6cm}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,1.5)(4,3.6)
%  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
%  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
%  \psline(4,0.5)(4,3.5)
%  \psline(4,3.5)(1,3.5)
%  \psline(0,3)(1,3.5)
%  \psline(3,3)(4,3.5)
%  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
%  \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
%  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
%  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
%  \rput(3.2,-0.2){$B$}
%  \rput(4.3,0.6){$C$}
%  \rput(1.2,0.7){$D$}
%  \rput(-.2,3){$E$}
%  \rput(3.2,2.8){$F$}
%  \rput(4.3,3.7){$G$}
%  \rput(.7,3.7){$H$}
%  %\psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
%  %\psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
%  %\rput(2.1,2.1){$O$}
%\end{pspicture}
%\enmp


\bgex
$SABCD$ est une pyramide � base carr�e de sommet $S$ et dont toutes
les ar�tes ont la m�me longueur $a$. 

\noindent\bgmp[t]{12cm}
Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires suivants:
\[a)\ \V{SA}\cdot\V{SB} \hspace{1.5cm}
b)\ \V{SA}\cdot\V{SC}\]
\[c)\ \V{SA}\cdot\V{AC} \hspace{1.5cm}
d)\ \V{SC}\cdot\V{AB}\]
\medskip
Quel est le volume de cette pyramide ? 
\enmp
\bgmp[t]{6cm} \ 

\psset{unit=.96cm}
\begin{pspicture}(-0.6,1)(3.5,2.6)
  \psline(0,0)(3,0)(4,1)
  \psline[linestyle=dashed](4,1)(1,1)(0,0)
  \psline(2,3)(0,0)
  \psline(2,3)(3,0)
  \psline(2,3)(4,1)
  \psline[linestyle=dashed](2,3)(1,1)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.2,1){$C$}
  \rput(1,0.8){$D$}
  \rput(2,3.2){$S$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex


\bigskip
Toutes les propri�t�s du produit scalaire dans le plan restent 
vraies dans l'espace: sym�trie, bilin�arit�, formules de polarisation, projection orthogonale. \\
Il faut n�anmoins adapter l'expression du produit scalaire en fonction
des coordonn�es: 

\bgprop{
  Dans un RON de l'espace, soit $\vec{u}(x;y;z)$ 
  et $\vec{v}(x';y';z')$, 
  alors, 
  \[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\]
}


\noindent
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgex 
$ABCDEFGH$ est un cube de centre $O$ et d'ar�te~$a$. 

\bgit

\item[1)] Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires: 

\[ a)\, \V{AE}\cdot\V{BG} \hspace{0.4cm}
b)\, \V{HB}\cdot\V{BA} \hspace{0.4cm}
c)\, \V{AB}\cdot\V{AO} \hspace{0.4cm}
\]

\item[2)] D�terminer dans le rep�re $(A;\V{AB},\V{AD},\V{AE})$ les
  coordonn�es de tous les points et retrouver a).
\item[3)] D�terminer une mesure de l'angle $\widehat{HOG}$. 
\enit
\enex
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,4)(4,4.5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(4,0.5)(4,3.5)
  \psline(4,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(3,3)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.3,0.6){$C$}
  \rput(1.2,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(3.2,2.8){$F$}
  \rput(4.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
  \rput(2.1,2.1){$O$}
\end{pspicture}
\enmp


\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex 
$ABCDEFGH$ est un parall�l�pip�de rectangle tel que 
$AD=AE=1$ cm et $AB=2$ cm

\vsp
$I$ est le centre du carr� $ADHE$ et $J$ le milieu du segment $[GH]$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Donner, dans le RON 
  $\lp A;\dfrac{1}{2}\V{AB},\V{AD},\V{AE}\rp$, 
  les coordonn�es des points $I$, $J$ et $F$. 
  \vsp
  En d�duire le produit scalaire $\V{JI}\cdot\V{JF}$. 
  \vsp
\item[b)] D�terminer l'angle, au dixi�me de degr� pr�s, $\widehat{IJF}$.
\enit
\enex
\enmp
\bgmp[t]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,1.5)(4,5)
  \pspolygon(0,0)(6,0)(6,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(7,0.5)(7,3.5)
  \psline(7,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(6,3)(7,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(7,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](6,0)(7,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(6.2,-0.2){$B$}
  \rput(7.3,0.6){$C$}
  \rput(.7,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(6.2,2.8){$F$}
  \rput(7.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(1,.5)
  \rput(0.25,1.7){$I$}
  \psline[linestyle=dashed](0.5,1.75)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](4,3.5)(6,3)
  \rput(4,3.8){$J$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspace{-0.8cm}
\noindent
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgex 
$ABCDEFGH$ est un cube d'ar�te~$a$. 

$J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[FB]$ et $[GH]$. 

Calculer $JK$.
\enex
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,2)(4,4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(4,0.5)(4,3.5)
  \psline(4,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(3,3)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.3,0.6){$C$}
  \rput(1.2,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(3.2,2.8){$F$}
  \rput(4.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](3,1.5)(2.5,3.5)
  \rput(3,1.5){$\tm$}\rput(3.2,1.5){$J$}
  \rput(2.5,3.5){$\tm$}\rput(2.5,3.8){$K$}
\end{pspicture}
\enmp




\section{Orthogonalit� dans l'espace}


\subsection{Orthogonalit� de deux droites}

\vspace{-0.3cm}
\bgdef{
  Deux droites sont orthogonales si leurs parall�les men�ees par un
  point quelconque sont perpendiculaires.\\
  En d'autres termes, deux droites sont orthogonales si leurs directions le sont. 
}

\vspt\noindent
\ul{Remarque:} Dans l'espace, deux droites peuvent n'�tre ni
parall�les ni s�cantes, et on a donc: 

\bgprop{
Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont 
perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales 
{\bf \ul{et}} s�cantes.
}

\bgex
Les droites suivantes sont-elles orthogonales ? perpendiculaires ? 
\[d_1:\la\bgar{ll}
x&=1+2t\\
y&=2+4t\\
z&=3-t
\enar, t\in\R\right.
\text{ et } 
d_2:\la\bgar{ll}
x&=-2+2t\\
y&=1-t\\
z&=1
\enar, t\in\R\right.
\]
\enex

\subsection{Droites et plans perpendiculaires}

\vspace{-0.3cm}
\bgdef{
  Une droite est perpendiculaire � un plan lorsqu'elle est orthogonale
  � toutes les droites de ce plan. 
}

\bgprop{
  Une droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est
  perpendiculaire � un plan $\mathcal{P}$ si et seulement si 
  il existe deux vecteurs non colin�aires du plan 
  $\mathcal{P}$ orthogonaux � $\vec{u}$.
}

\bgproof{
  \bgit
  \item[$\bullet$] {\bf La condition est n�cessaire.} 
    Si $\mathcal{D}$ est perpendiculaire � $\mathcal{P}$, elle est
    orthogonale � toutes les droites de $\mathcal{P}$. 

    En particulier, il existe deux droites de $\mathcal{P}$, 
    non parall�les et orthogonales � $\mathcal{D}$ et $\vec{u}$ est
    donc orthogonal aux vecteurs directeurs de ces droites qui sont
    des vecteurs de $\mathcal{P}$ non colin�aires. 

  \item[$\bullet$] {\bf R�ciproque: la condition est suffisante.} 
    Soit $\vec{v}$ et $\vec{w}$ deux vecteurs non colin�aires de
    $\mathcal{P}$ orthogonaux � $\vec{u}$. 

    Alors, pour tout vecteur $\vec{z}$ de $\mathcal{P}$, 
    les vecteurs $\vec{z}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires, 
    et donc, il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que 
    $\vec{z}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}$. 

    On a alors, 
    $\vec{u}\cdot\vec{z}
    =\vec{u}\cdot\lp \alpha\vec{v}+\beta\vec{w}\rp
    =\alpha\vec{u}\cdot\vec{v}+\beta\vec{u}\cdot\vec{w}
    =0
    $, 
    ce qui montre que $\vec{u}$ et $\vec{z}$ sont orthogonaux, et
    donc, 
    $\vec{z}$ �tant un vecteur quelconque de $\mathcal{P}$, 
    que $\vec{u}$ est orthogonal � tout vecteur de $\mathcal{P}$.
  \enit
}

\bgex
On consid�re dans un RON, les points 
$A(-1;-1;-1)$, 
$B(0;-2;0)$ et 
$C(-2;1;0)$. 

Montrer que le vecteur $\vec{n}(3;2;-1)$ est un vecteur normal au plan
$(ABC)$, et d�terminer une �quation de ce plan.
\enex

\subsection{Vecteur normal � un plan et plans perpendiculaires}

\vspace{-0.3cm}
\noindent
\bgmp[t]{11.6cm}
\bgprop{
  Soit $\vec{n}$ un vecteur et $A$ un point de l'espace. 
  L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que 
  $\V{AM}\cdot\vec{n}=0$ est le plan de vecteur normal $\vec{n}$. 
}
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,1.)(4,1.3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(4,1)(1,1)\rput(0.35,0.18){$\mathcal{P}$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(2,0.5)(2,1.5)\rput(2.15,1.4){$\vec{n}$}
  \rput(3,0.7){$\tm$}\rput(3.2,0.8){\small$M$}
  \psline(2,0.5)(3,0.7)
  \psline(2.,0.75)(2.2,0.8)(2.2,0.54)
  \rput(1.9,0.45){$A$}
  
  \rput(1.4,0.9){$\tm$}\rput(1.2,0.9){\small$M'$}
  \psline(2,0.5)(1.4,0.9)
  \psline(2,0.65)(1.85,0.8)(1.85,0.6)

  \psline(2,0.5)(2.2,0.2)\rput(2.2,0.2){$\tm$}\rput(2.45,0.2){\small$M''$}
  \psline(2.06,0.42)(2.06,0.52)(2,0.62)
\end{pspicture}
\enmp

\bgcorol{Dans un rep�re orthonormal, 
Un plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$
a une �quation de la forme \mbox{$ax+by+cz+d=0$}. 
}

\bgproof{
  Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $M(x;y;z)$ alors
  $\V{AM}(x-x_A;y-y_A;z-z_A)$ 

  et 
  $\V{AM}\cdot\vec{n}=a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)$. 

  Ainsi, $\V{AM}\cdot\vec{n}=0 \iff ax+by+cz+d=0$, 
  en posant $d=-ax_A-bx_B-cx_C$.
}


\bgdef{
  Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ de vecteurs normaux 
  $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont orthogonaux lorsque 
  $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont orthogonaux. 
}


\bgex 
L'espace est muni d'un RON $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 
$A$ %et $M$ sont les points de coordonn�es respectives 
est le point de coodonn�es 
$(1;-5;7)$.% et $(1;1;1)$. 

$\mathcal{L}$ est le plan d'�quation cart�sienne: 
$-2x+y+z-4=0$. 

\vspd
\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation cart�sienne du plan $\mathcal{P}$
  tel que le projet� orthogonal de l'origine $O$ sur $\mathcal{P}$
  soit le point $A$. 
\item Montrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont
  perpendiculaires. 
%  \vspd
%\item[c)] Calculer les distances du point $M$ au plan $\mathcal{L}$ et
%  du point $M$ au plan $\mathcal{P}$.
%  \vspd
%\item[d)] D�duire des questions pr�c�dentes la distance du point $M$
%  � la droite $\Delta$ intersection des plans $\mathcal{L}$ et
%  $\mathcal{P}$. 
\enen
\enex

\bgex
Dans un RON on consid�re les points $A(1;2;3)$ et $B(-1;2;5)$. 

D�terminer l'�quation du plan m�diateur de ces deux points 
{\it(on utilisera deux m�thodes diff�rentes: en terme d'orthogonalit� ou de distances aux points $A$ et $B$). }
\enex

\bgex
Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation 
$2x-y+3z-1=0$, et le point $A$ a pour coordonn�es 
$A(0;-1;-4)$. 
On note de plus $H$ le projet� orthogonal du point $A$ sur le plan
$\mathcal{P}$.

\vsp
\bgen[a)]
\item D�terminer les coordonn�es d'un vecteur $\vec{n}$ normal �
  $\mathcal{P}$. 
\item Justifier l'existence d'un r�el $k$ tel que 
  $\V{AH}=k\vec{n}$. 

  Traduire cette relation en termes de coordonn�es. 

\item D�terminer $k$ en exprimant que $H$ appartient �
  $\mathcal{P}$. 

  En d�duire les coordonn�es de $H$ et la distance $AH$ 
  de $A$ au plan $\mathcal{P}$.
\enen
\enex


%\section{Applications du produit scalaire}
%
%\subsection{Distance d'un point � un plan}
%
%\bgprop{
%  Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace. 
%  La distance du point $A(x_A;y_A;z_A)$ au plan $\mathcal{P}$ est la
%  distance $AH$, 
%  o� $H$ est le projet� orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$, 
%  \[ AH=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
%  \]
%}
%
%\bgproof{
%  $\V{AH}$ est colin�aire � $\vec{n}(a;b;c)$, et donc, 
%  il existe un nombre $\lbd$ tel que $\V{AH}=\lbd\vec{n}$, 
%  et ainsi, 
%  $(x_H-x_A;y_H-y_A;z_H-z_A)=(\lbd a;\lbd b;\lbd c)$, 
%  d'o�, $x_H=x_A+\lbd a$, $y_H=y_A+\lbd b$ et $z_H=z_A+\lbd c$.
%
%
%  De plus, $H\in\mathcal{P}$, d'o�, 
%  $ax_H+by_H+cz_H+d=0 
%  \iff a(x_A+\lbd a)+b(y_A+\lbd b)+c(z_A+\lbd c)+d=0$ 
%  et donc, $\dsp \lbd=\frac{ax_A+by_A+cz_A}{a^2+b^2+c^2}$. 
%
%
%  On a aussi $AH=|\lbd|�\|\vec{n}\|=|\lbd|\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, 
%  d'o� la formule de la propri�t�.
%}
%
%\subsection{In�quation caract�risant un demi-espace}
%
%\noindent
%\bgmp[t]{12.cm}
%\bgprop{
%  Dans un rep�re orthonormal, l'ensemble des points 
%  $M(x;y;z)$ qui v�rifient $ax+by+cz+d\geqslant 0$ (resp $>0$), 
%  avec $(a;b;c)\not=(0;0;0)$, est le demi-espace ferm� 
%  (resp. ouvert) d�limit� par le plan $\mathcal{P}$ 
%  d'�quation $ax+by+cz+d=0$.
%}
%\enmp
%\bgmp[m]{5cm}
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(0.,1.5)(4,1.)
%  \pspolygon(0,0)(3,1)(4,2)(1,1)%\rput(0.55,0.35){$\mathcal{P}$}
%  \rput(1.5,1.5){\rotatebox{20}{$ax+by+cz+d>0$}}
%  \rput(2,1){\rotatebox{20}{$\mathcal{P}:ax+by+cz+d=0$}}
%  \rput(1.5,0){\rotatebox{20}{$ax+by+cz+d<0$}}
%\end{pspicture}
%\enmp
%
%\bgex
%Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation: 
%$5x-\dfrac{y}{2}+z+\dfrac{1}{3}=0$. 
%
%D�terminer une in�quation du demi-espace ferm� de fronti�re 
%$\mathcal{P}$ contenant le point $B$ de 
%coordonn�es $(-1;2;3)$.
%\enex

%\clearpage

\section{Intersection de plans et de droites dans l'espace}

%\newrgbcolor{c1}{0.66 0.66 0.73}
\newrgbcolor{c1}{0.79 0.79 0.86}
%\newrgbcolor{c2}{1 0.8 0.8}
\newrgbcolor{c2}{1 0.81 0.81}
\newrgbcolor{c3}{1. 0.88 0.88}

\subsection{Intersection de deux plans}

\vspace{-0.5cm}
\bgprop{
  Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ deux plans de l'espace. 
  Alors, trois cas sont possibles: 

  \vspt
  \begin{tabular}{*2{p{5cm}|}p{5cm}}

    $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont strictement parall�les: ils
    n'ont aucun point commun
    &
    $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont s�cants suivant une droite $d$
    &
    $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont confondus: leur intersection
    est un plan
    \\
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2.5)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,1.2)(3,1.2)(4,2.2)(1,2.2)
  \end{pspicture}

  &

  \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
  \begin{pspicture}(-2.5,0.6)(3,3.2)
    \psline(0,0)(0,5)\rput(.25,4.95){$d$}
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](-2,0)(0,1.5)(0,4.5)(-2,3.)
%    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
  \end{pspicture}

  &

  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-1)(3,2)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
  \end{pspicture}

  \end{tabular}
}

\bgprop{
  Alg�briquement, 
  si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ ont pour �quation
  respective 
  $ax+by+cz+d=0$ et $a'x+b'y+c'z+d'=0$, 
  leur intersection est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que 
  
  \[
  \la\bgar{ccccccccc}
  ax &+& by &+& cz &+& d &=& 0 \vspd\\
  a'x &+& b'y &+& c'z &+& d'&=& 0
  \enar\right.
  \]


  \bgmp{11.4cm}
  Si les plans sont s�cants, le syst�me est alors un 
  \ul{syst�me d'�quations cart�siennes}
  repr�sentant la droite $d$.
  \enmp%\hspace{0.4cm}
  \bgmp{4cm}
  \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(-2,1)(4.,4.2)
    \psline(0,0)(0,6.5)\rput(0.4,6.5){$d$}
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,1.5)(3.5,2)(3.5,6)(0,5.5)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,1.5)(3,0)(3,4)(0,5.5)
  \end{pspicture}
  \enmp
}


\bgex
\bgit
\item[a)] Le syst�me 
$\la\bgar{rccccrrcc}
  2x &-& y &+& 3z &-& 1 &=& 0 \vspd\\
  x &+& y &-& 4z &-& 6&=& 0
  \enar\right.
$
est-il un syst�me d'�quations cart�siennes d'une droite $d$ ? 

\vspd
\item[b)] D�terminer $x$ et $y$ en fonction de $z$, puis en d�duire une �quation
param�trique de $d$, en introduisnat le param�tre $t=z$.  

Donner alors un point et un vecteur directeur de $d$.
\enit
\enex


\bgex Dans un RON, les plans $\mathcal{P}$, $\mathcal{L}$ et
$\mathcal{R}$ ont pour �quations cart�siennes 
\[\mathcal{P}:\ x+y+z+3=0\,, 
\ \ \mathcal{L}:\ 2x+2y+2z+7=0\,, 
\ \mbox{ et }\ \ \mathcal{R}:\ 3x-y+2=0\]

Etudier l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$, puis
des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$.

\enex


\subsection{Intersection d'une droite et d'un plan}

\bgprop{Soit $d$ une droite et $\mathcal{P}$ un plan de l'espace. 
  Alors, trois cas sont possibles: 

  \vspt
  \begin{tabular}{*2{p{5cm}|}p{5cm}}

    $d$ et $\mathcal{P}$ sont strictement parall�les: ils
    n'ont aucun point commun
    &
    $d$ et $\mathcal{P}$ sont s�cants en un unique point $A$
    &
    $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$: leur intersection
    est la droite $d$
    \\
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0.2)(4,1.5)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
    \psline(-0.,1.2)(4.,1.2)
    \rput(0.2,1.5){$d$}
  \end{pspicture}

  &

  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-0.5,0)(3,1.8)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
    \psline(1,2)(2,0.5)
    \psline[linestyle=dashed](2,0.5)(3,-1.)
    \psline(2.33,0)(3,-1)
    \rput(0.2,1.5){$d$}\rput(2,0.5){$\bullet$}%\psdot(2.,0.5)
  \end{pspicture}

  &

  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-0.5,0)(3,1)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
    \psline(1.2,0.8)(2.8,0.1)
  \end{pspicture}

  \end{tabular}
}  


\bgex Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation 
$5x+y-z+3=0$ et la droite $d$ pour repr�sentation param�trique 
$\la\bgar{ll}
x=t\\
y=1-6t \\
z=3-t
\enar\right.,\ t\in\R$. 

\vspd
D�terminer l'intersection de $d$ et $\mathcal{P}$.
\enex


\bgex
Les points $A$ et $B$ ont pour coordonn�es respectives 
$(2;-1;5)$ et $(-1;2;3)$. 

Etudier l'intersection de la droite $(AB)$ avec le plan $\mathcal{P}$
d'�quation $5x-3y-z=1$.
\enex


\section{Intersection de trois plans}

Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ trois plans de
l'espace.  
Alors, six cas sont possibles: 


\vspt\hspace{-1.cm}
\begin{tabular}{*2{p{5.7cm}|}p{5.5cm}}
  
  \multicolumn{3}{l}{\bf $\bullet$ Ils n'ont aucun point commun}\vspd\\
  
  Les trois plans sont strictement parall�les
  &
  Deux plans sont strictement parall�les et s�cants au troisi�me
  &
  Deux plans sont s�cants suivant une droite, et le troisi�me plan
  est strictement parall�le � cette droite
  est un plan
  \\
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,-1.5)(4,4)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,1.2)(3,1.2)(4,2.2)(1,2.2)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](0,2.4)(3,2.4)(4,3.4)(1,3.4)
  \end{pspicture}
  
  &
  
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1,-1.5)(3,4)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,1)(-1,0)(3,0)(4,1)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,2.2)(-1,1.2)(3,1.2)(4,2.2)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](0,2.4)(1,3.4)(3.5,-0.6)(2.5,-1.6)
    
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](2.53,1)(1.53,0)(3,0)(4,1)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](1.76,2.2)(0.76,1.2)(3,1.2)(4,2.2)
    
    \psline[linewidth=0.9pt](0.5,-1.02)(2.65,1.13)
    \psline[linewidth=0.9pt](0,0.44)(1.95,2.38)
  \end{pspicture}
  
  &
  
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1,-1.5)(3,4)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(0,2)(4,2.5)(4,0.5)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](1.5,-0.5)(1.5,1.5)(4,2.5)(4,0.5)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](-1,0.5)(-1,2.5)(4.5,0.8)(4.5,-1.2)
    
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(0,2)(0.4,2.05)(0.4,0.05)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](1.5,-0.5)(1.5,1.5)(1.8,1.63)(1.8,-.37)
    \psline[linestyle=dashed](1.5,-0.5)(4,0.5)
    \psline[linestyle=dashed](4,2.5)(4,-1.05)
    \psline[linewidth=0.9pt](4,-1.05)(4,-1.5)
    \psline[linewidth=0.9pt](4,2.5)(4,3)
    \psline[linestyle=dashed](0,0)(4,0.5)
    
    \psline[linewidth=0.9pt](0.4,3)(0.4,-0.8)
    \psline[linewidth=0.9pt](1.8,2.5)(1.8,-1.8)
    \rput(0.2,3.1){$d_1$}
    \rput(1.6,2.6){$d_2$}
    \rput(3.8,3){$d_3$}
  \end{pspicture}
  
\end{tabular}

\vspt\hspace{-1.cm}
\begin{tabular}{*2{p{5.7cm}|}p{5.5cm}}
  $\bullet$ {\bf Ils ont un unique point d'intersection}
  &
  $\bullet$ {\bf Leur intersection est une droite}
  &
  $\bullet$ {\bf Leur intersection est un plan}
  \\
  &
  &
  Les trois plans sont confondus
  \\
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-2.5,0)(3,5)
    \psline(0,0)(0,5)\rput(.25,4.95){$d$}
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](-2,0)(0,1.5)(0,4.5)(-2,3.)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](-2,2.5)(0,3)(2,1.)
    \rput(0,3){$\bullet$}%\psdot(0,3)
    \rput(0.3,3.2){$A$}
  \end{pspicture}
  
  &
  
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-2.5,0)(3,5)
    \psline(0,0)(0,5)\rput(.25,4.95){$d$}
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](-2,0)(0,1.5)(0,4.5)(-2,3.)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2]
    (-1.,-.5)(0,1.5)(0,4.5)(-1.,2.5)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
    \psline[linestyle=dashed](-2,0)(0,1.5)
  \end{pspicture}
  
  &
  
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1,-1.5)(4,4)
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
  \end{pspicture}
  
\end{tabular}

\vspd
\bgprop{Alg�briquement, si dans un RON, les plans ont pour �quations
  respectives $ax+by+cz+d=0$, 
  $a'x+b'y+c'z+d'=0$, et $a''x+b''y+c''z+d''=0$, alors leur
  intersection est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que: 
  \[
  \la\bgar{ccccccccc}
  ax &+& by &+& cz &+& d &=& 0 \vspd\\
  a'x &+& b'y &+& c'z &+& d'&=& 0 \vspd\\
  a''x &+& b''y &+& c''z &+& d''&=& 0
  \enar\right.
  \]
  Ce syst�me de trois �quations � trois inconnues peut donc avoir: 
  aucune solution, une unique solution, ou une infinit�.
}



\bgex
D�terminer l'intersection des plans $\mathcal{P}$, 
$\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ d'�quations respectives: 
\[3x+3y+z+2=0\ \ ,\ \  
y+z-5=0\ \mbox{ et, }\ \ 
2z-8=0\,.\]
\enex


\bgex
D�terminer l'intersection des plans $\mathcal{P}$, 
$\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ d'�quations respectives: 
\[4x+3y+z+2=0\ \ ,\ \  
x+2y+z-5=0\ \mbox{ et, }\ \ 
3x+5y+2z-9=0\,.\]
\enex



\section{Exercices}




\bgex {\it (D'apr�s Bac 2003)}

L'espace est rapport� � un rep�re orthonormal 
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonn�es respectives 
$A(3;-2;2)$, 
$B(6;1;5)$, 
$C(6;-2;-1)$ et 
$D(0;4;-1)$.


\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. 
  \vspd
\item[2.] Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan 
  $(ABC)$. 
  \vspd
\item[3.] Calculer le volume du tr�tra�dre $ABCD$. 
  \vspd
\item[4.] Montrer que l'angle g�om�trique $\widehat{BDC}$ a pour
  mesure $\dfrac{\pi}{4}$ en radians. 
  \vspd
%\item[5.] 
%  \bgit
%  \item[a.] Calculer l'aire du triangle $BDC$.
%    \vsp
%  \item[b.] En d�duire la distance du point $A$ au plan $(BDC)$.
%  \enit
\enit
\enex

\bgex {\bf ROC}\ {\it (D'apr�s Bac 2005)} 

\vsp
\ul{\bf Partie A.} Soit $[KL]$ un segment de l'espace. 
On note $I$ son milieu. 
On appelle plan m�diateur de $[KL]$ le plan perpendiculaire en $I$ �
la droite $(KL)$. 

\vsp
{\bf D�montrer} que le plan m�diateur de $[KL]$ est l'ensemble des
points de l'espace �quidistants des points $K$ et $L$. 

%{\sl (Indication: on pourra s'int�resser � $KM^2-LI^2$)}

\vspd
\ul{\bf Partie B.} Dans un RON, on consid�re les points 
$A(4;0;-3)$, $B(2;2;2)$.%, $C(3;-3;-1)$ et $D(0;0;-3)$. 

%\bgit
%\item[1.] 
D�montrer que le plan m�diateur de $[AB]$ a pour �quation 
$4x-4y-10z-13=0$. 

%  On admet par la suite que les plans m�diateurs de $[BC]$ et $[CD]$
%  ont respectivement pour �quations: 
%  \[ 2x-10y-6z-7=0\ \ \mbox{ et,} \ \ 
%  3x-3y+2z-5=0
%  \]
%\item[2.] D�montrer, en r�solvant un syst�me d'�quations lin�aires, 
%  que ces trois plans ont un unique point commun $E$ dont on donnera
%  les coordonn�es. 
%
%\item[3.] En utilisant la partie A, d�montrer que les points $A$, $B$,
%  $C$ et $D$ sont sur une sph�re $\mathcal{S}$ de centre~$E$. 
%
%  $\mathcal{S}$ est la sph�re circonscrite au t�tra�dre $ABCD$. 
%  Quel est le rayon de cette sph�re ?
%\enit
\enex


\bgex 
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un RON. 
$\mathcal{S}$ est la sph�re de centre $J(0;1;0)$ et de rayon 1. 
$u$ et $v$ sont deux r�els, $M$ et $N$ sont les points d�finis par 
$\V{OM}=u\vec{k}$ et $\Vec{AN}=v\vec{i}$ o� $A(0;2;0)$.

\vsp
\bgit
\item[1.] Donner une �quation de la sph�re $\mathcal{S}$. 
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Quelles sont les coordonn�es des points $M$ et $N$ ? 
    \vsp
  \item[b)] D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite
    $(MN)$. 
  \enit
  \vsp
\item[3.] 
%  \bgit
%  \item[a)] 
Montrer que la droite $(MN)$ est tangente � la sph�re
    $\mathcal{S}$ si, et seulement si, $u^2v^2=4$. 
%    \vsp
%  \item[b)] Dans le cas o� la droite $(MN)$ est tangente �
%    $\mathcal{S}$, calculer les coordonn�es du point de contact.
%  \enit
\enit
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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