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Calcul numérique et algébrique général

Tous les résultats de calculs doivent être simplifiés. Même si "simple" et "simplifié" (on non) sont assez subjectifs, quelques règles pour les exercices qui suivent (et ensuite toute votre vie mathématique...)
  • on factorise toujours, le plus possible
    par exemple: $3x^7+6ax^2+12x=3x\lp x^6+2ax+6\rp$
  • on utilise le moins de fractions possible (on réduit les sommes de plusieurs fractions en utilisant un dénominateur commun), et avec un trait de fraction le plus court possible,
    par exemple: $\dfrac{3x+7a^2+3}{2}-\dfrac{2x+5}{3}=\dfrac16\lp5x+21a^2-1\rp$
Tous les calculs suivants doivent être considérés comme faciles. "Facile" est là aussi subjectif, certes ... Cela ne signifie pas forcément que le résultat peut, ou doit, être vu de tête, en un coup d'œ il, ... mais que armé d'une feuille et d'un stylo, il est facile de mener les calculs jusqu'au bout, sans se poser de question de méthode, ni faire d'erreur.


Exercice 1
On pose $f(x)=x\dfrac{x^{10}-1}{x-1}$.
Présenter sous la forme la plus simple $f(2)$ , $f(3)$ , $f\lp\dfrac1x\rp$ , $f(-x)$ , $f\lp\dfrac32\rp$.


Exercice 2
$A=\dfrac{\dfrac13+3}{\dfrac16+6}$      $B=3\tm\dfrac{2+\dfrac12}{2-\dfrac12}$      $C=2\tm\dfrac{\dfrac{7}{2}+1}{\dfrac34-5}-\dfrac53$      $D(x)=3+\dfrac{6}{x+2}$      $E=\dfrac{\dfrac3{10}\tm\dfrac{15}{\dfrac92}}{\dfrac9{15}\tm\dfrac52}$
$F(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$      $G(x)=\dfrac{7}{x^2+3}-1$      $H(x)=-2-\dfrac{3x-1}{x-2}$      $I(x)=\dfrac{\dfrac{3x}{2}-5}{\dfrac{x}{3}+3}$     $J=\dfrac{\dfrac{a^2}{3b}}{\dfrac{ac}{6b}}$     $K(x)=2x-1+\dfrac{3x}{2x-1}$      $L(x)=-x+2-\dfrac13\tm\dfrac{2x}{x+2}$     $M=\lp\sqrt{12}-\sqrt3\rp^2$
$N=\lp3\sqrt2\rp^2-\lp\sqrt2-1\rp^2$      $N'=\lp\sqrt{7-4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}\rp^2$      $P=\dfrac{\lp1-\sqrt3\rp^2}{2-\sqrt3}$
$Q=\dfrac{3\sqrt2-2\sqrt3}{\sqrt6}$      $R=3-\dfrac{3+2\sqrt3}{\sqrt3}$      $S=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}+5}{\sqrt{3}-\dfrac12}$      $T=\dfrac{1}{\sqrt2-1}-\dfrac{1}{\sqrt2+1}$
$U=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$     $V=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}-\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$     $W=\dfrac{\dfrac1{1+\dfrac1{1+\frac12}}}{\dfrac1{1+\dfrac1{1-\frac12}}}$     $X=\dfrac{2+\dfrac{2+a}{2-a}}{2-\dfrac{2+a}{2-a}}$


Récurrence


Exercice 3
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, (les trois premières sommes sont à connaître par cœur)
  1. $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2$
  2. $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$
  3. $1+a+a^2+a^3+\dots+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$, pour $a\not=1$
  4. $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\lp\dfrac{n(n+1)}2\rp^2$
  5. $n^3-n$ est multiple de 3
  6. On pose $u_0=1$ et $u_1=-1$, puis $u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ pour tout entier $n$.
    Montrer que $u_n=(-1)^n$.
  7. On pose $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=-\dfrac1{n+1}\dsp\sum_{k=0}^nu_ku_{n-k}$.
    Montrer que $u_n=(-1)^n$.
Le schéma d'une démonstration par récurrence d'une propriété $P_n$, pour tout entier $n$ est:

Initialisation. on montre que $P_0$ est vraie (ou $P_1$, ou $P_2$, ... )
Hérédité. On suppose que $P_n$ est vraie pour un certain entier $n$, ce qui s'appelle l'hyptothèse de récurrence, et on montre que la propriété suivante $P_{n+1}$ est alors aussi vraie.
Conclusion. Le principe de récurrence (ou le théorème cf., par exemple, cette démonstration) permet alors d'affirmer que toutes les propriétés $P_n$, pour tout entier $n$, sont vraies.


Sommes


Exercice 4
Donner une expression simplifiée (et sans somme) de la somme des entiers impairs
\[S_n=\sum_{k=1}^n(2k-1)\]

$S_n=n^2$


Exercice 5
On pose, pour tout entier $n$ non nul, $\dsp u_n=\sum_{k=n}^{2n}\dfrac1k$.
Étudier le sens de variation de $(u_n)$.
On exprime $u_{n+1}-u_n$, (attention la somme pour $u_{n+1}$ va jusqu'à $2(n+1)=2n+2$, et donc la différence $u_{n+1}-u_n$ contient deux termes), puis son signe (strictement positif ici).



Exercice 6
On note $H_n$ la somme harmonique, pour $n\geqslant1$, $\dsp H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1k$.
Montrer que, pour tout entier $n\geqslant2$,
\[\sum_{k=1}^{n-1}H_k=nH_n-n\]

Indication: Par récurrence ...

Exercice 7
En utilisant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique et la dérivation, calculer, pour $x$ réel et $n\in\N^*$,
\[S(x)=\sum_{k=0}^nkx^k\]

En dérivant $R(x)=\dsp\sum_{k=0}^n{x^k}$, qui est un polynôme et aussi une somme géométrique donc dont on connaît l'expression (et qu'on sait aussi dériver), on obtient $\dfrac1xS(x)$


Exercice 8
Montrer que, pour tout réel $x>0$, on a $\dfrac1{x(x+1)}=\dfrac1x-\dfrac1{x+1}$.
En déduire une expression de la somme
\[S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1{k(k+1)}\]

et la limite de cette somme lorsque $n\to+\infty$.
$S_n=1-\dfrac1{n+1}$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n=1$


Exercice 9
Simplifier le produit
\[P_n=\prod_{k=2}^n\lp1-\dfrac1k\rp\]

$P_n=\dfrac1n$

Voir aussi:
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Récurrence