Calculs de fonctions dérivées

Exercices corrigés et détaillés

Formules de dérivation

Pour calculer l'expression de la fonction dérivée d'une fonction donnée, il faut tout d'abord connaître les formules de dérivations.
Ces formules peuvent se présenter dans deux tableaux:

Dérivée des fonctions usuelles & Opérations sur les dérivées

Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées

Calculer les fonctions dérivées f '(x) dans tous les cas suivants.
Écrire la fonction dérivée sous la forme la plus "simplifiée" possible: une seule fraction au plus (même dénominateur …), et une expression la plus factorisée possible.

f (x) = x³ − 5x⁷ + 3x
f '(x) = 3x⁴ − 35x⁸ − 3x²
f(x) = x³ − 5 × x⁷ + 3 × 1x
et donc,

f '(x) = 3x² − 5 × 7x⁶ + 3 × −1x² = 3x² − 35x⁶ −3x²
puis, sur le même dénominateur:

f '(x) = 3x²×x²x² − 35x⁶×x² x² − 3x² = 3x⁴ − 35x⁸ − 3 x²
f (x) = 1 2 x⁴ − x3 + 3x
f '(x) = 4x³x − 23x + 3 2x

Attention: 3 est une constante, tandis que x ↦x est une fonction
f (x) = 12x⁴ −3 x + 3x

et donc,

f '(x) = 124x³ −3×1 + 3 1 2x = 2x³ −3 + 3 2x
puis, sur le même dénominateur,

f '(x) = 2x³×2x −3×2x + 3 2x = 4x³x −23x + 3 2x
f(x) = (3x − 2)²
f '(x) = 6(3x − 2)
On a f = u² avec u(x) = 3x − 2 donc u'(x) = 3 et alors
f ' = 2u'u
soit
f '(x) = 2×3×(3x − 2) = 6(3x − 2)

Pour s'entraîner / s'amuser, on peut aussi développer dès le début l'identité remarquable:
f (x) = 9x² − 12x + 4
puis dériver et factoriser:

f '(x) = 18x − 12 = 6(3x − 2)
f (x) = 3x + 1
f '(x) = − 3(x + 1)²
On a f (x) = 3×1x + 1
soit f = 3×1u avec u(x) = x + 1 donc u'(x) = 1
et alors f ' = 3×− u'u²
soit
f '(x) = 3×− 1(x + 1)² = − 3(x + 1)²
f (x) = x + 2x + 3
f '(x) = 1(x + 3)²
f (x) = (x² + 3) x⁵
f '(x) = x⁴ (7x² + 15)
On peut dériver un produit uv ou plus simplement ici, d'abord développer:
f (x) = x⁷ + 3x⁵
puis en dérivant:
f '(x) = 7x⁶ + 3×5x⁴ = 7x⁶ + 15x⁴
et enfin en factorisant:
f '(x) = x⁴ (7x² + 15)

En considérant un produit f = uv avec u(x) = x² + 3 donc u'(x) = 2x et v = x⁵ donc v' = 5x⁴, on obtient alors f '= u'v + uv' soit
f '(x) = 2x × x⁵ + (x² + 3)× 5x⁴ = 2x⁶ + 5x⁶ + 15x⁴ = 7x⁶ + 15x⁴ = x⁴ (7x² + 15)
f (x) = x + 1x x
f '(x) = 2x
En développant directement on obtient
f (x) = x² + 1 et donc directement f '(x) = 2x

Pour s'entraîner / s'amuser, on peut aussi dériver un produit f = uv avec u(x) = x + 1x donc u'(x) = 1 − 1x² et v(x) = x donc v'(x) = 1 et on obtient alors f '= u'v + uv' soit
f '(x) = 1 − 1x² x + x + 1x×1 = x − 1x + x + 1x = 2x
f (x) = x + 2x² x
f '(x) = 2x³ − 1x²
En développant tout d'abord,
f (x) = x² + 2x = x² + 2×1x
et donc
f '(x) = 2x + 2 − 1x² = 2x − 2x²
d'où, sur le même dénominateur,

f '(x) = 2x×x² x² − 2x² = 2x³ − 2 x² = 2 x³ − 1 x²
f(x)= − 25x² + 3
f '(x) = 20x(x² + 3)²
f (x) = 5xx² + 3
f '(x) = 5 − x² + 3(x² + 3)²
f (x) = x² + 1x³ + 1
f '(x) = x − x³ − 3x + 2(x³ + 1)²
f (x) = x²x
f ' = 52xx
On a un produit f = uv avec u(x) = x² donc u'(x) = 2x et v = x donc v' = 12x, et on obtient alors f '= u'v + uv' soit
f '(x) = 2xx + x² ×12x

puis, sur le même dénominateur
f '(x) = 2xx × 2x + x²2x = 4x² + x²2x = 5x²2x
enfin, en multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$ , on obtient
f '(x) = 5x²x2xx = 5x²x2x = 52xx
f (x) = xx² + 3
f '(x) = − 3(x − 1)(x + 1)2x(x² + 3)²
f (x) = x − 1xx + 1x
f '(x) = 4x(x² + 1)²
f (x) = x² + 3xx² + x3
f '(x) = 3xx³ − 27x − 6(3x³ + x²)²
f (x) = x 1 + 1x3 + 3x
f '(x) = 13
f (x) = 1 + 1x1 − 1x
f '(x) = 1x²
f (x) = 13x3 + 9xx² + 2
f '(x) = − x² −6x + 2(x² + 2)²
f (x) = (x + 3)x²x
f '(x) = 12xx (7x + 15)
On a un produit f = uv avec u(x) = (x + 3)x² = x³ + 3x² donc u'(x) = 3x² + 6x = 3x(x + 2) et v = x donc v' = 12x, et on obtient alors f '= u'v + uv', soit
f '(x) = 3x(x + 2)x + (x + 3)x²12x
puis sur le même dénominateur,
f '(x) = 3x(x + 2)x2x + (x + 3)x² 2x = 3x(x + 2)2x + (x + 3)x² 2x = 6x²(x + 2) + (x + 3)x² 2x = 6x³ + 12x² + x³ + 3x² 2x = 7x³ + 15x² 2x = x² 7x + 15 2x
et enfin, en multipliant numérateur et dénominateur par x,
f '(x) = x²x 7x + 15 2xx = x²x 7x + 15 2x = xx 7x + 15 2 = 12xx (7x + 15)
f (x) = 5x1 + 2x
f '(x) = 5x(x + 6)2(x + 2)²

Voir aussi: