Logarithme décimal

Propriétés principales et exercices corrigés

Les fonctions logarithmes sont naturellement utilisés en sciences. La fonction logarithme népérien tout d'abord, comme fonction réciproque de la fonction exponentielle. Une autre fonction logarithme tient une place particulière en sciences: la fonction logarithme décimal.
On peut citer notamment les échelles de Richter (mesure de la magnitude d'un séisme), de pH (mesure de l'acidité d'une solution), ou encore de décibells (mesure de l'intensité sonore) qui ont toutes le point commun d'être des échelles logarithmiques et utilisant le logarithme décimal.
L'échelle de Richter et la mesure du pH sont proposés en exercices après le cours sur le logarithme décimal: sa définition et ses principales propriétés.


Logarithme décimal: définition et premières propriétés

Définition de la fonction logarithme décimal
La fonction logarithme décimal, notée log, est définie sur ]0;+∞ par
log(x) = ln(x)/ln(10)
où ln désigne la fonction .

D'après les propriétés du logarithme népérien, on obtient directement les premières propriétés suivantes du logarithme décimal:
Premières propriétés du logarithme décimal:
  • log(1) = 0, log(10) = 1
  • Comme log(x) = 1/ln(10)×ln(x) on a log'(x) = 1/ln(10)×ln'(x) = 1/ln(10)× 1/x
  • Pour tous réels a>0 et b>0, on a log(ab) = log(a) + log(b)
  • Pour tout réel a>0 et tout entier n, log(an) = n log(a)
    En particulier pour a=10, on a log(10n) = nlog(10) = n
  • n = log(a) ⇔ a = 10n:
    Le logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction puissance de 10: x ↦ 10x
    log(x) = y ⇔ x = 10y

Courbe représentative du logarithme décimal

Courbe du logarithme décimal:
Comme les fonctions fonctions x ↦ 10x et logarithme décimal sont réciproques l'une de l'autre, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

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Exercices: échelle de Richter pour les séismes et ph d'une solution


Exercice: Échelle de Richter
La magnitude d'un séisme, sur l'échelle de Richter, est évaluée à partir de l'amplitude A des ondes sismiques enregistrées sur un sismographe par la formule
M = log(A) − log(A0)
où A0 désigne l'amplitude d'un séisme de référence.
  1. On a mesuré l'amplitude d'un séisme et on a obtenu A = 3, 98 ×107 A0.
    Calculer la magnitude de ce séisme sur l'échelle de Richter.
  2. La magnitude d'un séisme est 5. Déterminer le rapport A/A0 de son amplitude à l'amplitude de référence.
  3. À quelle variation d'amplitude correspond une variation de magnitude de 1 sur l'échelle de Richter ?
  1. On remarque tout d'abord que, d'après les propriétés algébriques des fonctions logarithmes (décimal et népérien, qui sont les mêmes)
    M = log(A) − log(A0) = logA/A0
    Ainsi, la magnitude de ce séisme sur l'échelle de Richter lorsque A = 3, 98 ×107 A0 ⇔ A/A0 = 3, 98 ×107 est
    M = log(3,98 ×107) ≃ 7,6
  2. Lorsque la magnitude d'un séisme est de 5, le rapport vaut
    M = 5 = logA/A0 ⇔ A/A0 = 105
  3. Pour une certaine amplitude A de magnitude M, l'amplitude A' pour une magnitude M+1 vérifie
    M+1 = logA/A0 +1 = logA'/A0
    Comme 1=log(10), et log(a)+log(b) = log(ab), on a aussi
    log10A/A0 = logA'/A0
    d'où finalement A' = 10A: l'amplitude est multipliée par 10 lorsqu'on ajoute une unité sur l'échelle de Richter.


Exercice: pH d'une solution
La molarité en ions H+ d'une solution est le nombre, noté [H+] de moles par litre d'ions H+.
[H+] s'exprime généralement par un nombre comportant une puissance négative de 10 (10−5 mol.L−1 par exemple).
On lui préfère donc le pH défini par pH = − log([H+]).
  1. Quel est le pH d'une solution contenant 3.10−7 moles d"ions H+ par litre ?
  2. Quelle est la molarité en ions H+ d'une solution neutre (pH = 7) ?
  1. Le pH de cette solution est pH = −log(3.10−7) ≃ −6,5
  2. La molarité en ions H+ d'une solution neutre est 10−7.


Voir aussi:
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