Second degré - Exercices et problèmes corrigés

Sans résoudre l'équation, et sans effectuer de calculs, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1. L'équation 350x² − 3x − 27,5 = 0 admet deux racines réelles distinctes.
2. Le trinôme du second degré x² − 6x + 9 est strictement positif pour tout réel x.
3. Si on multiplie par 2 tous les coefficients d'une équation du second degré, alors ses racines sont aussi multipliées par 2.
4. L'équation x² + 15 = 0 n'a pas de racines réelles.

Pour chaque fonction, déterminer le plus grand ensemble de définition.

1. f (x) = 2x − 3 / 2x² + x − 21
   
   
   
2. g(x) = −3x² + 14x −15
   

Résoudre dans R les deux inéquations suivantes:

1. 1 / x − 1 < x + 1 / x − 2
   
   
   
   
2. x² − 5x + 6 / x² + 3x − 10 ≤ 1

Le plan est muni d'un repère (O ; i , j  ). La parabole P a pour équation y = x².

1. 1. Construire P et la droite D d'équation y = −2x + 2.
   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de P et D.
   
   
2. m étant un réel, D_m est la droite d'équation y = −2x + m .
   1. Montrer que D_m est parallèle à D.
   2. Déterminer m pour que la droite D_m coupe P en un seul point. Construire la droite correspondante et calculer les coordonnées du point d'intersection.
   3. Déterminer les valeurs m pour lesquelles la droite D_m coupe P en deux points distincts A_m et B_m.
      On appelle alors I_m le milieu de [A_mB_m].
      Quel est l'ensemble des points I_m lorsque m varie ?
   
   

1. Soit f (x) = ax² + 15x + c .
   Trouver deux réels a et c de telle sorte que f ait pour racines 4/3 et − 1/2 .
   
   
2. Soit g(x) = 7x² + bx + 2 . Déterminer les valeurs de b pour lesquelles g n'admet pas de racines.
   
   

Soit le polynôme P(x) = x⁴ + 6x³ −11x² − 60x + 100 .

1. Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction trinôme du second degré Q(x) = ax² + bx + c vérifie la relation:
   P(x) = (Q(x))²
   
   
2. Résoudre alors l'équation P(x) = 0.
   
   
3. 1. Trouver trois réels a, b et c tels que, pour tout réel x,
      x³ + 6x² + 6x + 5 = (x+5)(ax² + bx + c)
      
      
   2. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction rationnelle f suivante et la simplifier
      f (x) = x⁴ + 6x³ −11x² − 60x + 100 / x³ + 6x² + 6x + 5