Variante du théorème des accroissements finis
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Soit
une fonction définie et continue sur
,
dérivable sur
, telle que
,
et soit
à l'extérieur de
.
En introduisant la fonction
définie sur
par
,
montrer qu'il existe
dans
tel que
.
Donner une interprétation géométrique de la fonction
et énoncer le résultat obtenu sous forme géométrique.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/1.png)
![$[a,b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/2.png)
![$]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/3.png)
![$f(a)=f(b)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/4.png)
![$\alpha$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/5.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/6.png)
En introduisant la fonction
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/7.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/8.png)
![$g(x)=\dfrac{f(x)}{x-\alpha}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/9.png)
![$c$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/10.png)
![$]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/11.png)
![$f'(c) =\dfrac{f(c)}{c-\alpha}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/12.png)
Donner une interprétation géométrique de la fonction
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2/13.png)
Correction
est, comme
, continue sur
et dérivable sur
,
avec, comme pour
aussi,
.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe
tel que
![\[g'(c)=\dfrac{f'(x)}{c-\alpha}-\dfrac{f(c)}{(c-\alpha)^2}=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/8.png)
soit exactement,
.
Graphiquement,
est le coefficient directeur de la tangente
à la courbe de
au point d'abscisse
,
tandis que
est le coefficient directeur
de la droite passant par
et
.
Graphiquement, on peut tracer une tangente à la courbe de
en partant
du point
.
![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\psline{->}(-1,0)(8,0)
\psline{->}(-.5,-1)(-.5,5)
\psplot{2}{6}{-1 x -4 add 2 exp mul 4 add}
\psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$a$}
\psline(6,.1)(6,-.1)\rput(6,-.3){$b$}
\psline(.5,.1)(.5,-.1)\rput(.5,-.3){$\alpha$}\rput(.4,.3){$A$}
\psline(.5,0)(5.25,6)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,3.56)\rput(3.3,-.3){$c$}
\rput(3.2,3.7){$C$}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/18.png)
Correction
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/1.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/2.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/3.png)
![$]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/4.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/5.png)
![$g(a)=g(b)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/6.png)
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe
![$c\in]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/7.png)
![\[g'(c)=\dfrac{f'(x)}{c-\alpha}-\dfrac{f(c)}{(c-\alpha)^2}=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/8.png)
soit exactement,
![$f'(c) =\dfrac{f(c)}{c-\alpha}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/9.png)
Graphiquement,
![$f'(c)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/10.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/11.png)
![$c$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/12.png)
![$\dfrac{f(c)}{c-\alpha}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/13.png)
![$A(\alpha;0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/14.png)
![$C(c;f(c))$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/15.png)
Graphiquement, on peut tracer une tangente à la courbe de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/16.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/17.png)
![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\psline{->}(-1,0)(8,0)
\psline{->}(-.5,-1)(-.5,5)
\psplot{2}{6}{-1 x -4 add 2 exp mul 4 add}
\psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$a$}
\psline(6,.1)(6,-.1)\rput(6,-.3){$b$}
\psline(.5,.1)(.5,-.1)\rput(.5,-.3){$\alpha$}\rput(.4,.3){$A$}
\psline(.5,0)(5.25,6)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,3.56)\rput(3.3,-.3){$c$}
\rput(3.2,3.7){$C$}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0.2_c/18.png)
Tag:Rolle - AF
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